Задача 2 ОЧ-2014 (9 класс)

Оптимальным является объём выпуска, при котором цена равна предельным издержкам фирмы (заметим, что это необходимое условие максимизации прибыли):

$p=MC$

Получаем уравнение:

$3q^2-220q+4400=2000,$

решая которое, получаем два уровня выпуска: $q_1=60; q_2=\dfrac{40}{3}.$

Прибыль, которую получает предприниматель, равна: $PR=TR-TC=p\cdot q-q\cdot AC(q)$

Максимальная прибыль достигается при $q=60$ и составляет $2000\cdot60-60\cdot(60^2-110\cdot60+4400)=36000.$

При $q=\dfrac{40}{3}$ прибыль отрицательна:
$$2000\cdot\dfrac{40}{3}-\dfrac{40}{3}\cdot\Biggl(\left(\dfrac{40}{3}\right)^2-110\cdot\dfrac{40}{3}+4400\Biggr)=\left(-2400+110\cdot\dfrac{40}{3}\right)\cdot\dfrac{40}{3}-\left(\dfrac{40}{3}\right)^3 \lt0$$
2. Теперь предпринимателю запрещено провозить 60 тонн гравия. Максимально возможный объём гравия теперь составляет: 40-8=32 тонны.

Прибыль, которую получит предприниматель, составит при этих условиях: $2000\cdot32-32\cdot(32^2-110\cdot32+4400)=3072.$

3. При штрафе ниже, чем $36000-3072=32928$, предпринимателю будет выгодно нарушать закон. Соответственно, предпринимателю все равно, нарушать закон или нет при штрафе, равном 32928.

4. Для ответа на данный вопрос необходимо найти максимальное значение прибыли на единицу продукции, т.е. величины $\pi=\frac{TR-TC}{q}.$

Заметим, что $\frac{TR-TC}{q}=\frac{p\cdot q-TC}{q}=p-AC(q)$. Максимум данной функции достигается тогда, когда достигается минимум функции $AC(q)$.

График функции $AC(q)=q^2-110q+4400$ – парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, данная функция достигает минимума в вершине, т.е. при $q=110/2=55$. Значение функции в точке $q=55$ составляет $AC(55)=55^2-110\cdot55+4400=1375.$

Таким образом, максимальное значение прибыли на единицу продукции равно $2000-1375=625$.