Задача 3 ОЧ-2014 (10-11 класс)

Сначала рассмотрим случай, когда $0\leq p \leq 10.$

Тогда спрос задаётся уравнением $Q_d=26-2p$, откуда $Q \in [6;26]$

Найдём выручку монополиста:

$P=13-\dfrac{Q}{2} \Rightarrow TR_1=13Q-\dfrac{Q^2}{2}$

Так как спрос на товар зависит от цены в рублях, то выручка тоже выражена в рублях. Однако издержки монополиста выражены в долларах. При нахождении прибыли важно перевести всё в одинаковые единицы измерения.

Издержки монополиста в рублях равны $TC=x\cdot0{,}5\cdot Q^2.$

Тогда прибыль монополиста будет выглядеть так:

$\begin{equation}PR_1=TR_1-TC \Rightarrow PR_1=13Q-\dfrac{Q^2}{2}-0{,}5x\cdot Q^2=13Q-(1+x)\cdot\dfrac{Q^2}{2} \to max \\
PR_1'=13-(1+x)\cdot Q=0 \Rightarrow Q=\dfrac{13}{1+x} \end{equation}$

Это максимум прибыли, так как её график – парабола ветвями вниз.

$Q\in [6;26] \Rightarrow 6\leq \dfrac{13}{1+x}\leq26\Rightarrow x\leq\dfrac{7}{6}$

Таким образом, прибыль монополиста в этого случаи составит:

$PR_1=\dfrac{169}{2(1+x)}$

Заметим, что для всех $x\gt0$ прибыль положительна, а значит монополист будет производить ненулевое количество товара.

Теперь рассмотрим случай, когда $10\lt p \leq16.$

Сделаем те же расчёты для спроса $Q_d=16-p$, где $Q\in [0;6).$
$$\begin{array}{l}P=16-Q \Rightarrow TR_2=16Q-Q^2 \\
PR_2=16Q-Q^2-0{,}5x\cdot Q^2=16Q-(1+0{,}5x)\cdot Q^2\to max \\
PR_2'=16-(2+x)\cdot Q=0 \Rightarrow Q=\dfrac{16}{2+x} \end{array}$$
Это максимум прибыли, так как её график – парабола ветвями вниз.

$Q\in [0;6)\Rightarrow 0\leq \dfrac{13}{1+x}\lt6\Rightarrow x\gt\dfrac{2}{3}$

Таким образом, прибыль монополиста для этого случая составит:

$PR_2=\dfrac{128}{2+x}$

Заметим, что для всех $x>0$ прибыль также положительна, а значит монополист будет производить ненулевое количество товара.

Теперь сравним прибыль монополиста в каждом случае для каждого $x$.
$$\begin{array}{c}PR_1>PR_2 \\
\dfrac{169}{2(1+x)}>\dfrac{128}{2+x} \Rightarrow x\lt\dfrac{82}{87}\end{array}$$
Значит, при курсе доллара от 0 до 82/87 монополист будет производить $Q=\dfrac{13}{1+x}$, так как в этом случае его прибыль больше. При более высоких значениях курса доллара монополист будет производить $Q=\dfrac{16}{2+x}.$
Ответ: $Q=\begin{cases}\dfrac{13}{1+x}, & \text{ при } 0\lt x\leq \dfrac{82}{87} \\ \dfrac{16}{2+x}, & \text{ при } x>\dfrac{82}{87} \end{cases}$

(б) Ослабление рубля – это увеличение курса доллара, то есть рост $x$. Так как прибыль монополиста отрицательно зависит от x, то ослабление рубля приведёт к уменьшению его прибыли. Это вполне логично, потому что увеличение курса доллара увеличивает издержки монополиста в рублях. Он продаёт товар на российском рынке, следовательно, при неизменной выручке и растущих издержках его прибыль уменьшается.