монополия

Фирма-монополист разрабатывает программный продукт, доступ к которому пользователи приобретают ежегодно. До начала продаж фирма может инвестировать в качество продукта. Если объём инвестиций равен \(5x^2\), то в каждом году обратная функция спроса имеет вид $P_t=24+x-Q_t$, $t=1,2,\ldots$ Инвестиции осуществляются один раз непосредственно перед началом первого года и навсегда улучшают качество продукта. Средние издержки предоставления доступа одному пользователю постоянны и равны 4.Фирма может заново назначать цену в начале каждого года.

Рассмотрим монополию с линейной функцией спроса. Докажите, что оптимальный размер скидки не может быть больше $50\%$. Решите задачу, если фирма (а) максимизирует выручку, (б) максимизирует прибыль.

Фирма продаёт товар двум группам покупателей. Доля покупателей первой группы равна $x$, а второй группы - $(1-x)$. Функции спроса групп имеют вид $Q_1=x(20-P_1)$, $Q_2=(1-x)(10-P_2)$. Издержки фирмы равны нулю. До обращения к консультанту фирма не могла различать покупателей разных групп и устанавливала единую цену. Консультант разработал технологию, позволяющую определять группу каждого покупателя и назначать разные цены. Найдите максимальную величину прироста прибыли фирмы в результате работы консультанта.

Монополист продаёт товар на рынке с обратной функцией спроса $P(Q)$. Известно, что $P(Q)$ строго убывает и является вогнутой функцией (то есть $P''(Q)\leq 0$), а предельные издержки фирмы монотонно возрастают. Государство вводит потоварный налог в размере $t>0$ на каждую проданную единицу товара. Считайте, что как до, так и после введения налога монополист производит положительный объём продукции.

Докажите, что после введения налога цена товара для потребителя возрастёт, но величина этого роста окажется меньше размера потоварного налога.

Рассмотрите работу некоторого монополиста. Государство может либо ввести налог на каждую проданную единицу товара, либо взимать с фирмы аккордный налог. Известно, что налоговые сборы государства в обоих случаях одинаковы и равны. Предполагается, что оптимальные выпуски существуют и фирма продолжает работать при обоих налогах. Сравните выпуск, цену, прибыль монополиста, излишек потребителей и общественное благосостояние при двух способах налогообложения. Учтите, что задачу предстоит решать в общих предпосылках.

На рынке некоторого товара действует фирма-монополист. Спрос на её продукцию описывается функцией $Q^d=100-P$, а издержки производства имеют вид $TC(Q)=Q^2$.

а) Определите выпуск, цену и прибыль монополиста, если государство не вмешивается в работу рынка.

б) Государство решило поддержать производство данного товара и ввело потоварную субсидию: за каждую произведённую единицу продукции монополист получает \(s\) денежных единиц из бюджета.

1) Найдите оптимальный выпуск монополиста как функцию ставки субсидии \(q(s)\).

Прибыль фирмы описывается как:

$$\pi(q)=\sqrt{a-q}+\sqrt{b+q}$$

Значения $a, b>0$ не известны. Известно, что при выпусках $q=10$ и $q=20$ прибыль фирмы совпадает. Найдите выпуск, максимизирующий прибыль.

Компания-производитель воды рассматривает нестандартную бизнес-модель: продавать воду потребителям бесплатно, а доход получать исключительно от размещения рекламы на упаковке. Известно, что при нулевой цене спрос на воду не ограничен.

Монополист Антон Романович занимается продажей драгоценностей. Известно, что если государство установит потоварный налог по ставке $t$, то зависимость объема продаж от ставки будет описываться функцией $q(t)$. Докажите, что $q(t)$ не возрастающая функция.

Примечание: Учтите, что задачу необходимо решить в самых общих предпосылках.

Жители Сигмаленда покупают только смартфоны Сигма, при этом их обратная функция спроса имеет вид P=100-Q, смартфоны производит монополист, издержки которого имеют вид TC=10Q. Государство хочет ввести налог по ставке t такой, чтобы собрать как можно больше денег на строительство школ, но жители не рады введению налога, поэтому государству будет необходимо потратить t² д.е. на создание промо роликов, чтобы жители не ругались. Помогите государство подобрать t, при котором достигается максимальное значение Т, где T=t*Q-t².