Абсервант

$$\Pi(x,y)=TR_x(x)+TR_y(P_y, y)-TC_{\alpha}(\alpha(x,y))-TC_{\beta}(\beta(x,y))$$

$$\Pi(x,y)=P_x(x)x+P_y\cdot y-P_{\alpha}(\alpha(x,y))\cdot\alpha(x,y)-P_{\beta}(\beta(x,y))\cdot\beta(x,y)$$

$$\Pi(x,y)=(100-x)x+P_y\cdot y-(x+2y)^2-(2x+y)^2 \rightarrow \max\limits_{x,y\geq0}$$

Максимизируем $\Pi(x,y)$ по переменной $y$ при фиксированном $x$:

$$\Pi^{\prime}_y=P_y-4(x+2y)-2(2x+y)=0 \textit{ (достаточное условие: } \forall y\geq0: \Pi^{\prime\prime}_{yy}=-10<0)$$

откуда находим оптимальное значение $y^*$ для различных пар $(x,P_y)$:

\begin{equation*}
y^*=
\begin{cases}
(P_y-8x)/10, & x \leqslant P_y/8 \\
0, &x > P_y/8
\end{cases}
\end{equation*}

$$\Pi(x,y^*(x))=(100-x)x+P_y\cdot\bigg(\frac{P_y-8x}{10}\bigg)-\bigg(x+\frac{P_y-8x}{10}\bigg)^2-\bigg(2x+\frac{P_y-8x}{10}\bigg)^2 \rightarrow \max\limits_{x\geq0}$$

$$\bigg[\Pi(x,y^*(x))\bigg]^\prime_x=100-2x-\frac{8P_y}{10}+1.2\bigg(x+\frac{P_y-8x}{5}\bigg)-2.4\bigg(2x+\frac{P_y-8x}{10}\bigg)=0$$

$$\textit{ достаточное условие: } \forall y\geq0:\bigg[\Pi(x,y^*(x))\bigg]^{\prime\prime}_{xx}=-5.28<0$$

С учетом неотрицательности переменных и $y^*$:

\begin{equation*}
x^*(P_y)=
\begin{cases}
\tilde{x} |_{y=0} &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\
(125-P_y)/7 &, 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\
0 &, P_y>125
\end{cases}
\end{equation*}

Поиск $\tilde{x}$:

$$\Pi(x)|_{y=0}=(100-x)x-5x^2 \rightarrow \max\limits_{x\geq0}$$

$$[\Pi(x)]^\prime_x=100-2x-10x=0 \Rightarrow \tilde{x}=8\frac{1}{3} $$

$$\textit{достаточное условие: } \forall x\geq0: \Pi(x,y=0)^{\prime\prime}_{x}=-10<0$$

А значит

\begin{equation*}
x^*(P_y)=
\begin{cases}
8\frac{1}{3} &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\
(125-P_y)/7 & 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\
0 &, P_y>125
\end{cases}
\end{equation*}

\begin{equation*}
y^*(P_y)=
\begin{cases}
0 &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\
\frac{3}{14}P_y-\frac{100}{7} &, 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\
P_y/10 &, P_y>125
\end{cases}
\end{equation*}

Октуда с учетом предложения конкурентного окружения $Y_s=P_y$ находим отраслевое предложение на рынке товара $Y$:

\begin{equation*}
Y^{отр}_s(P_y)=
\begin{cases}
P_y &, 0 < P_y < 66\frac{2}{3} \\
\frac{17}{14}P_y-\frac{100}{7} & 66\frac{2}{3} \leqslant P_y\leqslant 125 \\
\frac{11}{10}P_y &, P_y>125
\end{cases}
\end{equation*}

Поиск равновесия на рынке товара $Y$: $Y^{\text{отр}}_s(P_y)=Y_d(P_y) \Rightarrow Y^e=P_y^e=50.$

Используя найденные значения, находим параметры равновесия производителя относительно рынка товара $X$: $(x^e,P_x^e)=(8\frac{1}{3},91\frac{2}{3})$.