Антон Лыков

На рынке некоторого товара действует фирма-монополист. Спрос на её продукцию описывается функцией $Q^d=100-P$, а издержки производства имеют вид $TC(Q)=Q^2$.

а) Определите выпуск, цену и прибыль монополиста, если государство не вмешивается в работу рынка.

б) Государство решило поддержать производство данного товара и ввело потоварную субсидию: за каждую произведённую единицу продукции монополист получает \(s\) денежных единиц из бюджета.

1) Найдите оптимальный выпуск монополиста как функцию ставки субсидии \(q(s)\).

Прибыль фирмы описывается как:

$$\pi(q)=\sqrt{a-q}+\sqrt{b+q}$$

Значения $a, b>0$ не известны. Известно, что при выпусках $q=10$ и $q=20$ прибыль фирмы совпадает. Найдите выпуск, максимизирующий прибыль.

На некотором рынке в разные годы функции спроса и предложения задаются следующим образом.

В 2025 году:
\[
P_S = 25 + \sqrt[25]{Q}, \qquad P_D = \frac{25}{Q}.
\]

В 2026 году:
\[
P_S = 26 + \sqrt[26]{Q}, \qquad P_D = \frac{26}{Q}.
\]

Предполагая, что на рынке устанавливается равновесие, определите, на сколько процентов изменилась выручка продавцов в 2026 году по сравнению с 2025 годом.

На рынке некоторого товара функция спроса строго убывает, а функция предложения строго возрастает. Государство вводит потоварный налог на каждую единицу товара. Может ли случиться так, что при любой положительной ставке налога налоговые сборы государства оказываются одинаковыми (не зависят от ставки)? Если да, приведите пример таких функций спроса и предложения и докажите, что они удовлетворяют условию задачи. Если нет, строго докажите, что это невозможно.

На рынке некоторого товара действуют \(100\) потребителей и \(100\) производителей.

Спрос потребителя с номером \(i\), где \(i=1,2,\dots,100\), задаётся функцией
\[
q_i^d=i-p.
\]

Предложение производителя с номером \(j\), где \(j=1,2,\dots,100\), задаётся функцией
\[
q_j^s=p-\frac{j}{2}.
\]

Найдите равновесную цену и равновесный объём на данном рынке. Сколько покупателей и производителей покупают товар в равновесии?

Известно, что кривая Лоренца проходит через точку $(\frac{1}{2},\frac{1}{8})$ и описывается кубическим многочленом.

а) Найдите коэффициент Джини для данной экономики.

б) Найдите, каким именно многочленом описывается кривая Лоренца.

В городе построено Городское Центральное Кольцо (ГЦК), имеющее форму окружности длины $1$. В диаметрально противоположных точках кольца расположены две станции техобслуживания: станция $A$ и станция $B$.

Прозводственная функция $Q=F(L,K)$ характеризуется возрастающей отдачей от масштаба. Докажите наличие для совершенного конкурента на рынке факторов производства в долгосрочном периоде эффекта масштаба.

Четверо друзей - Алексей, Борис, Виктор и Дмитрий - решили обменяться подарками на Новый Год. В экономике производятся ровно четыре уникальных подарка (неповторимых и в единственном экземпляре):книга, парфюм, футболка и шарф.

Предпочтения каждого друга относительно подарков представлены в таблице, где 1 означает наилучший (наиболее желаемый) подарок, а 4 - наихудший

В компьютерной игре у Алекса есть несколько друзей в гильдии. В начале дня у одного из друзей было 5 единиц ресурса "золото", а у остальных (включая Алекса) — 0. После совместного прохождения подземелья каждый из друзей Алекса получил бонус 4 золота, но Алекс бонуса не получил из-за бага в системе. Чтобы исправить это, администратор сервера вручил Алексу некоторое количество золота. Будучи знатоком теории игр, администратор хотел, чтобы Алекс обрадовался (получил много золота), но чтобы неравенство распределения золота в гильдии не выросло.