Задача 1 ОЧ-2014 (9 класс)

Для начала разберёмся, какой минимальный индекс избираемости может обеспечить конкуренту каждая из партий.
$$\begin{array}{c}Ir = (x – 1)^2 + 0,5 \Rightarrow Ir_{min} = Ir (1) = 0,5 \\
Ip = (y -25)^2 + 0,5 \Rightarrow Ip_{min} = Ip (25) = 0,5 \\
Ir = Ip\end{array}$$
Поскольку у каждой партии имеется в распоряжении необходимое для минимизации индекса избираемости соперника количество очиев, предположим, что для каждой партии оптимально потратить на взятку все имеющиеся в распоряжении деньги. Теперь докажем, что полная трата денег действительно является оптимальной стратегией для каждой из партий. Проведём рассуждение для партии Богачей (для Бедняков доказательство аналогично).

Обратим внимание, что целевой функцией партии Богачей является $fr = Ir / (Ir + Ip)$ («Доля мест вашей партии в парламенте будет пропорциональна вашему индексу избираемости»). Эту функцию нужно максимизировать. Но по какой переменной? По $Ip$ – ведь именно на этот параметр Богачи могут влиять. Тогда, принимая $Ir$ в качестве константы, $max\bigl[(Ir / (Ir + Ip)\bigr] \Leftrightarrow min[Ip]$ (квадратные скобки означают целую часть). Значит, для максимизации доли мест в парламенте необходимо минимизировать индекс конкурентов, и найденная выше стратегия на самом деле оптимальна. Трата всех имеющихся денег не является «тратой большей, чем необходимо».

Таким образом, Богачи потратят на взятку 25 очиев, Бедняки – 1 очий. При этом их индексы избираемости совпадут, и ни одна из партий не сможет обеспечить парламентское большинство – места между ними разделятся поровну.

Этого же результата можно было бы добиться и с меньшими затратами: например, если бы Бедняки договорились с Богачами потратить 0 очиев, а Богачи – 24 очия, их индексы избираемости снова совпали бы, и исход оказался бы тем же. Но кооперация запрещена условием: «Богачи и Бедняки не любят друг друга и не будут договариваться о каком-либо сотрудничестве, даже если оно взаимовыгодно».