Параболас и Лаффер

За правильную формулу - 3 балла

Замечание: Данный вид кривой можно написать как сразу, исходя из предположений о линейности, так и вывести аналитически. А именно:
$$ \begin{array}{l} Q_d=a-bp \\ Q_s=c+d(p-t) \\ Q_s=Q_d \\ a-bp=c+d(p-t) \\ p^*=\dfrac{a-c}{b+d} +\dfrac{d}{b+d}\cdot t \\ Q^*=a-bp^* \\ Q^*=a-b \left(\dfrac{a-c}{b+d} +\dfrac{d}{b+d}\cdot t \right) \\
Q^*=\left[ a-b \dfrac{a-c}{b+d} \right] - \left[b \dfrac{d}{b+d} \right] t \end{array} $$

Пусть $\left[ a-b \dfrac{a-c}{b+d} \right]=\beta$, а $\left[b \dfrac{d}{b+d} \right]=\alpha$.
К тому же стоит обратить внимание, что $\alpha \gt 0$ (за счёт того, что $b \gt 0$ и $d \gt 0$). Тогда:

$$\begin{array}{c} Q^*=\beta -\alpha t \Rightarrow T=tQ^* \\ T=-\alpha t^2 + \beta t \end{array} $$
2). Известно, что $T(2)=T(4)$. Это означает, что: $$\begin{array}{c} -\alpha \cdot 2^2+\beta \cdot 2 = -\alpha \cdot 4^2+\beta \cdot 4 \\
-4\alpha+2\beta=-16\alpha+4\beta \\
12\alpha=2\beta \\ 6\alpha=\beta \end{array} $$
За правильные расчёты - 2 балла

Таким образом, можем записать, что: $T=-\alpha t^2 + 6\alpha t $.

3). Поскольку это парабола, направленная ветвями вниз, то мы можем определить её вершину: $$ t_{верш}=-\dfrac{6\alpha}{2\cdot (-\alpha)}=3$$
Замечание: $t=3$ можно найти и с помощью того, что $t=2$ и $t=4$ находятся от вершины на равном расстоянии. То есть достаточно посчитать среднее между 2 и 4.

За правильные расчёты - 2 балла

4). Нам известно, что $T_{max}=300$. К тому же: $$T_{max}=T(t_{верш})=-\alpha\cdot3^2+6\alpha\cdot3=-9\alpha+18\alpha=9\alpha$$
Исходя из этого: $9\alpha=300 \Rightarrow \alpha=\dfrac{100}{3}, \beta=200$

5). Теперь мы можем вывести зависимость величины налоговых поступлений в бюджет от ставки налога: $$T=-\dfrac{100}{3}t^2+200t$$
За правильные расчёты - 3 балла