Необычная КПВ

В непрерывном же случае, когда мы имеем дело с функцией, удобнее воспользоваться производной. Действительно, производная функции в каждой конкретной точке показывает, как известно, скорость изменения значения функции при «маленьком» изменении аргумента.

Альтернативные издержки производства одной единицы товара $x$ равны: $$AC_x=-\dfrac{1}{x'_y}$$
Минус возникает в связи с тем, что принято говорить об альтернативной стоимости как о положительной величине.
(Рассмотрим пример КПВ с постоянной альтернативной стоимостью. КПВ будет иметь линейный вид, например, $y = 10 – 2x$. Понятно, что равенство в терминах альтернативной стоимости выглядит так: $10 \cdot y = 5 \cdot x$ или $y = 0{,}5 \cdot x$ – чтобы произвести один игрек, нужно отказаться от $0{,}5x$. Этот же результат можно получить, используя производную: $y'_x=-2$. Тогда альтернативная стоимость игрека: $AC_y=-\dfrac{1}{y'_x}=0{,}5$ единиц икса).

1). Зная альтернативную стоимость икса, как функцию от игрек находим КПВ: $$AC_x=-\dfrac{1}{x'_y}=\dfrac{1}{2y} \Rightarrow x'_y=-2y$$
Подбираем функцию, производная которой равна $(-2y)$:
Получаем, что $x=-y^2+C$, где $С$ – некоторая константа.

За правильные расчёты - 4 балла

2). Т.к. точка $(10;0)$ находится на КПВ, находим константу $C$: $$\begin{array}{c} 10=-0+C \\ C=10 \end{array}$$
Итак, уравнение КПВ в этой экономике выглядит так: $x+y^2=10$

За правильные расчёты - 2 балла

3) Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции $1:\alpha$. Следовательно, в равновесии должно выполняться соотношение: $y=\alpha x$.
Далее нужно, опираясь на целочисленность икса, игрека и альфы, подобрать равновесие.

Самое простое – перебором.

Т. к. $x+y^2=10$ и $y$ – целое, то $0 \lt y \leq 3$ («Жители страны потребляют товар икс и игрек в пропорции $1:\alpha$», поэтому $y \neq 0$).
Остается 3 варианта: $(9;1), (6;2), (1;3)$. Подставляем их в $y=\alpha x$, получаем, что все целое только, если $x = 1; y = 3$.

За правильные расчёты - 4 балла