Перетягивание каната

Таким образом, функция прибыли фирмы является параболой с ветвями вниз. Фирма выберет объем, соответствующий вершине этой параболы:
${Q^*} = \frac{{(1 - t)120 - 40 + s}}{{2 \cdot 0,5(1 - t)}} = 120 + \frac{{s - 40}}{{1 - t}}$
(тот же самый результат можно было получить, приравнивая предельный доход к предельным издержкам).
Ситуация до введения налога и субсидии соответствовала случаю $t=0$, $s=0$, и значит, первоначальный выпуск фирмы равен $120-40=80$.
По условию, выпуск вырос на 25%, и значит, новый объем равен 100.
Получаем уравнение $120 + \frac{{s - 40}}{{1 - t}} = 100$.
Второе уравнение на $t$ и $s$ получим из условия о равенстве выплат и поступлений:
$tPQ=sQ$, откуда $s = tP = t(120 - 0,5 \cdot 100) = 70t$.
В итоге получаем систему
$\begin{cases}120+\frac{s-40}{1-t}=100;\\s=70t.\end{cases}$
Решая ее, получаем $t=0{,}4=40 \%$, $s=28$ ден. ед. Сумма поступлений от налога (она же сумма выплат по субсидии) равна 2800.

(б) Первоначальная прибыль равна $80 \cdot 80 - 40 \cdot 80 - 500 = 2700$.
Новая прибыль равна $70\cdot 100 - 40 \cdot 100 - 500 - 2800 + 2800 = 2500$.
Таким образом, прибыль фирмы уменьшилась на 200.
Как такое могло получиться?
Дело в том, что отличие новой ситуации от старой состоит не только в том, что фирма выплачивает некую сумму и получает некую сумму. Главное заключается в том, политика государства создает для фирмы стимулы изменить выпуск, а значит, значение прибыли, которую получает фирма еще до фактического осуществления расчетов с бюджетом, также меняется. Потери в 200 единиц возникают именно из-за этого.

(в) Утверждение эксперта верно. Докажем его.

Доказательство:

Решение 1:

Назовем ситуацию до вмешательства государства «старой», а ситуацию после вмешательства — «новой».
Заметим, что даже в старой ситуации фирма всегда может обеспечить себе «новый» уровень прибыли. Для этого ей просто-напросто надо произвести «новый» объем выпуска, а затем, имитировав действия государства, заплатить самой себе ту сумму, которую в новой ситуации она платит государству и получает от него. Или, что то же самое, ей надо произвести «новый» объем выпуска, а затем ничего не делать.
Однако если при этом «новая» прибыль оказалась бы больше, чем «старая», то фирма явно не выбрала бы «старый» объем производства (раз существует вариант лучше). Тем не менее, наша рационально действующая фирма, максимизируя прибыль, выбрала, как мы знаем, именно «старый» объем! Значит, «новая» прибыль не может быть больше, чем «старая».

Решение 2:

Пусть функция прибыли фирмы до вмешательства описывается уравнением $\pi=f(Q)$.
Заметим, что прибыль фирмы после вмешательства просто равна значению $f$ в точке нового объема выпуска (ведь все потоки денег, не учтенные в $f$, взаимно компенсировались).
С другой стороны, прибыль фирмы до вмешательства равна максимальному значению $f$.
Получаем, что «старая» прибыль равна значению $f$ в точке максимума этой функции, а «новая» прибыль — значению $f$ в точке нового выпуска. Значит, новая прибыль заведомо не больше, чем старая.