Черно-белый мультипликатор

Пусть $A$ - во сколько раз вырастает единица, если она попадает к белому, а $B$ - во сколько раз вырастает единица, если она попадает к черному. Тогда искомый мультипликатор равен $\frac{A+B}{2}$.

Нетрудно догадаться, что $A$ и $B$ должны удовлетворять системе:
$$\begin{cases}A=1+axA+(1-a)xB\\B=1+byB+(1-b)yA\end{cases}$$

Решая ее, получаем $$A=\frac{1-by+(1-a)x}{(1-by)(1-ax)-(1-a)(1-b)xy}.$$
$B$ получается из $A$ заменой $x$ на $y$ и $a$ на $b$.

Тогда мультипликатор равен
$$mult_G=\frac{A+B}{2}=\frac{0,5(2-ax-by+(1-a)x+(1-b)y)}{(1-ax)(1-by)-(1-a)(1-b)xy}.$$

Ситуация пункта (а) соответствует $a=1$, $b=1$. Подставив эти числа, мы как раз получим $mult_G=\frac{1}{2(1-x)}+\frac{1}{2(1-y)}$.

Ситуация пункта (б) соответствует $a=0$, $b=0$. Подставив эти числа, мы как раз получим $mult_G=\frac{2+x+y}{2(1-xy)}$.

Если же подставить $a=b=0,5$, то как раз получим $mult_G=\frac{1}{1-\frac{x+y}{2}}$.

Теперь самое интересное: найдем максимум мультипликатора по $a$ и $b$ при фиксированных $x$ и $y$.

$mult'(a)=\frac{(1-2b)x(1+y)(x-y)}{(\ldots)^2}$

$mult'(b)=\frac{(1-2a)y(1+x)(y-x)}{(\ldots)^2}$

Глядя на эти производные, с помощью некоторых рассуждений можно доказать, что для любых $a,b$ хотя бы одно из двух утверждений верно: $mult(1,1)\ge mult(a,b)$ или $mult(0,0)\ge mult(a,b)$. Но в пункте (в) нашей задачи мы доказали, что $mult(1,1)\ge mult(0,0)$.

Значит, какими бы ни были $x$ и $y$, мультипликатор, как ни парадоксально, действительно максимален при $a=b=1$.

UPD: "Некоторые рассуждения" были не верны. На самом деле, мультипликатор максимален при $a=1$, $b=0$, если $x>y$, и при $a=0$, $b=1$, если $x