Progressive stools

Задача

Заключительный этап ВОШ — 2011

2-й тур: Задачи

микроэкономика

производитель и рынки

издержки

Средняя: 10 (4 оценок)

Алексей Суздальцев

07.05.2011, 22:11 (Алексей Суздальцев)
28.09.2017, 21:02

(8)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Компания «Progressive stools» владеет тремя заводами по производству современных инновационных табуреток. Для каждого из заводов в таблице приведена зависимость месячных издержек от количества произведенных на нем за этот месяц табуреток:

Номер завода	Функция затрат
1	$TC_1(q_1)=3q_1^2-q_1+1432$
2	$TC_2(q_2)=3q_2^2+q_2+456$
3	$TC_3(q_3)=3q_3^2+3q_3+123$

Даже если на каком-то заводе ничего не производится, фирма несет фиксированные издержки, связанные с этим заводом.
Выведите «общую» для фирмы функцию $TC(Q)$, которая показывает минимально возможные издержки фирмы на производство в общей сложности $Q$ единиц продукции в месяц. При этом имейте в виду, что количество даже самых инновационных табуреток может выражаться только целым числом.

Решение и ответ

Найдем функции предельных издержек на каждом из заводов (поскольку в данном случае выпуск может быть выражен только целым числом, то предельные издержки – это не производная $TC$, а просто приращение общих издержек при выпуске $q$-той табуретки).
$MC_1({q_1}) = TC_1({q_1}) - TC_1({q_1} - 1) =\\= 3q_1^2 - {q_1} + 1430 - (3{({q_1} - 1)^2} - ({q_1} - 1) + 1430) = 6{q_1} - 4;$

$MC_2({q_2}) = TC_2({q_2}) - TC_2({q_2} - 1) = 6{q_2} - 2;$

$MC_3({q_3}) = TC_3({q_3}) - TC_3({q_3} - 1) = 6{q_3}.$

Составим таблицу первых значений функций предельных издержек:

$q$	1	2	3	4	...	$q$
$MC_1$	2	8	14	20	...	$6q-4$
$MC_2$	4	10	16	22	...	$6q-2$
$MC_3$	6	12	18	24	...	$6q$

На каждом из заводов предельные издержки возрастают. Поэтому, минимизируя общие издержки, фирма будет производить каждую следующую табуретку там, где это обходится дешевле, то есть там, где предельные издержки ниже. Так, первую табуретку фирма произведет на первом заводе — это обойдется ей в 2; вторую табуретку фирма произведет на втором заводе (для этого завода она будет первой) — и потратит 4. Третью табуретку фирма произведет на третьем заводе, потратив 6, четвертую — вновь на первом и потратит 8, пятую — на втором, и.т.д. Таким образом, фирма будет «двигаться» по столбцам нашей таблицы сверху вниз, и итоговая шкала предельных издержек будет иметь вид

$Q$	1	2	3	4	5	6	7	...	$Q$
$MC$	2	4	6	8	10	12	14	...	$2Q$

Как видим, функция предельных издержек фирмы является, в полном соответствии с названием компании, арифметической прогрессией. Функцию же общих издержек нетрудно найти как сумму этой прогрессии (не забудем прибавить все постоянные издержки, которые, независимо от выпуска, несет фирма на каждом из заводов):

$TC(Q) = (2 + 4 + \ldots + 2Q) + 1432 + 123 + 456 =\\= \frac{{2(1 + Q) \cdot Q}}{2} + 2011 = {Q^2} + Q + 2011.$

Ответ:

$TC(Q)=Q^2+Q+2011$.

Примечание:

Если бы фирме было «разрешено» производить также нецелые количества табуреток, то ответ был бы другим. Например, при $Q=6$ она cмогла бы произвести $7/3$ табуретки на первом заводе, $2$ табуретки на втором заводе, и $5/3$ табуретки на третьем заводе, и ее общие издержки составили бы $41{\textstyle{1 \over 3}} + 2011$, что меньше, чем «наш» ответ $6^2+6+2011$, соответствующий производству двух табуреток на каждом из заводов.

Это я сказал на разборе, что профессор МГУ А. В. Кочергин считает верным тот факт, что ответы при целых и произвольных Q при квадратичных издержках будут отличаться на константу. Но я сам этот факт не проверял, поверил профессору на слово.

Алексей Суздальцев ↑

08.05.2011 01:23 ссылка

Ты хочешь сказать, ты сложил графики $MC$ (полученные дифференцированием) по горизонтали и взял интеграл? Ты действительно получил "основную часть" $VC$ правильно (она как в дискретном). Будет ли так для любых квадратичных функций, не знаю.

Однако в действительности $VC$ в непрерывном случае не будут равны $Q^2+Q$. При $Q>1$ они будут равны $Q^2+Q-2/3$, а при $Q<1$ будут описываться другой формулой (причем кое-где они будут отрицательны, так как функция переменных издержек на первом заводе, если формально подставлять в нее маленькие нецелые ку, может принимать отрицательные значения).

Так что, ты не совсем четко сложил графики MC (из-за этого не увидел, что "общий" график MC имеет два участка и забыл так константу 2/3).

В итоге, две ошибки (решал в непрерывном случае, а не в дискретном + неправильно решил в непрерывном случае) скопенсировались, и у тебя вышел правильный ответ! Видимо, так.

Глеб Ярных ↑

08.05.2011 01:28 ссылка

Все понял) Тогда почему за это вообще какие-то баллы давали?? (8 баллов если не ошибаюсь)

Данил Фёдоровых ↑

08.05.2011 01:53 ссылка

Ну, видимо, за знание стандартного метода.

Алексей Суздальцев ↑

08.05.2011 02:00 ссылка

Я не проверял задачу, но, по-моему, 8/25 - вполне адекватная оценка за такое "наивно-непрерывное" решение.

Что ты утверждаешь, когда складываешь MC по горизонтали? Ты говоришь: надо распределить выпуск между заводами так, чтобы все три значения MC были равны (само по себе это, кстати, неочевидно - ты можешь объяснить, почему так?)

Однако, например, при $Q=6$ такое распределение потребовало бы поставить $q_1=7/3$, $q_2=2$, $q_3=5/3$, что невозможно, если табуретки целые. При любом целом $Q$ то распределение ку по заводам, которое ты рисуешь на картинке, где складываешь непрерывные графики MC, для фирмы просто недоступно! Что же тогда делать? Может, выпустить (2;2;2)? А может (1;2;3)? Где та наилучшая целочисленная комбинация выпусков, из наиболее близких к "идеальной", полученной сложением MC? Неужели придется вести такой перебор для каждого значения $Q$?

Оказывается, обойти эти "неудобные" вопросы можно, если придумать совершенно новый "чисто целочисленный" метод решения, не основывающийся на приближении "целый-непрерывный" и равенстве MC. Задача как раз поощряет тех участников, кто может отряхнуть догмы и продвинуться в этом направлении. Ну и всякие намеки на прогрессию для подсказки)

Алексей Суздальцев ↑

08.05.2011 01:03 ссылка

Про любые квадратичные я не исследовал. Здесь же, как мне показалось, "вред" для фирмы от целочисленности является константой из-за того, что оптимальные ку в непрерывном случае здесь все время одинаково "рассеяны" среди целых ку, которые фирме фактически приходится выбирать (а именно, одно все время на 1/3 больше, чем фактически выбирается, а другое на 1/3 меньше). Но это не только из-за квадратичности, но из-за того, что вторая функция издержек "ровно посередине" между первой и третьей.

Глеб Ярных

08.05.2011 01:09 ссылка

Кстати сейчас только понял, что не учел некоторой ошибки 1 тура. В задачах 2 тура, среди которых была эта, не было ни одной задачи, кроме этой, где необходимо было использовать сумму прогрессии, а она была дана (формула) как подсказка фактически (на первой страничке) для этой задачи :)

Алексей Суздальцев ↑

08.05.2011 01:29 ссылка

Ну и название фирмы)

Все задачи этой олимпиады

1-й тур: Задачи

Задача	Баллы
Shutdown price и количество капитала	20
Бутербродный протекционизм	25
Покупательная способность денег и не оправдавшиеся ожидания банка	10
Потоварный налог по переменной ставке	20
Черно-белый мультипликатор	25

2-й тур: Задачи

Задача	Баллы
10 проектов и арифметика экономических прибылей	15
Progressive stools
Перетягивание каната	25
Правильная формула для уровня безработицы, или удачливый Вася	15

3-й тур: Качественные задачи

Задача	Баллы
Рациональные пингвины	20

4-й тур. Эссе

Задача	Баллы
ВВП и благосостояние	8
Естественная и циклическая безработица.	8
Ограничения модели депозитного мультипликатора	8
Потенциальный ВВП и КПВ	8
Финансирование бюджетного дефицита	8

В олимпиадах

Раздел

Темы

Сложность

Автор

Комментарии

Все задачи этой олимпиады