Электроники-9

Утверждение 1. Никогда нет смысла продавать энергию по ценам, отличным от 16 и 12. Действительно, если поставить цену из множества $P\in [0;12)\cap (12;16)$, то повышение цены не уменьшит спрос, то есть выручка увеличится без изменения издержек, а значит, увеличится прибыль.

Утверждение 2. Никогда нет смысла продавать более 1000 тыс. единиц продукции. Допустим, мы продали больше 1000 тыс. единиц продукции. Это значит, что мы продаем товар обоим покупателям и используем оба источника при производстве (собственное производство и закупки). Тогда, если мы продадим администрации на одну тыс. единиц меньше, отказавшись от закупки этой тысячи у фирмы «Элекироник-А», то наша прибыль увеличится на 3.

Утверждение 3. Никогда нет смысла закупать электроэнергию у фирмы «Электроник-А». Поскольку мы продаем не более 1000 тыс. единиц продукции, мы можем произвести их все самостоятельно, понеся издержки $TC(q)=2000+10q$ тыс. руб. Если же мы будем закупать энергию в другом городе (сэкономив 2000 тыс. рублей, но заплатив больше за каждую единицу), то издержки составят $15q$ тыс. Нетрудно убедиться, что закупки извне оправданы только при $q\le 400$, но это не может быть оптимальным объемом продаж, так как производственная фирма готова купить 500 единиц по цене 16, что превышает издержки в любом случае.

а) Поскольку готовность платить каждого покупателя не убывает по цене, нужно назначить каждому из них ту максимальную цену, которую он готов платить: производственной фирме $P_1=16$, а администрации $P_2=12$. При этом из доказанного выше следует, что мы должны произвести всю энергию сами и продать ее производственной фирме и администрации. Поскольку обе цены превышают предельные издержки, ясно, что нужно произвести так много энергии, как это возможно — 1000 тыс. единиц, и продать 500 тыс. из них по максимальной цене $P_1$, а остальные — по цене $P_2$. Прибыль, которую можно получить таким образом, равна $16\times 500 + 12\times 500 - 2000 - 10\times 1000=2000$ тыс. руб.
б) Как было показано выше, есть смысл выбирать только из цен 12 и 16. При цене 12 мы сможем продать все 1000 тыс. единиц (и получим прибыль $12\times 1000-2000-10\times 1000 = 0$), а при цене $16$ спрос будет равен 500 тыс. (и мы получим прибыль $16\times 500-2000-10\times 500 = 1000$ тыс. руб). Значит, оптимальной ценой является 16, а максимальная прибыль равна 1000 тыс. руб.

Критерии
Решения, приводимые участниками, могут отличаться от приведенного выше (например, вряд ли стоит ждать от них предварительного доказательства приведенных утверждений), но проверяющий должен определить, какие необходимые шаги выполнены в решении, а какие нет.

Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 1, он получает 3 балла.

Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 2, он получает 10 баллов.

Если в ходе решения участника приведено и доказано то, что выше называется Утверждение 3, он получает 10 баллов.

а) Если посчитана верная прибыль, ставится 2 балла.
б) Расчет прибыли в каждом из случаев — 5 баллов

$-1$ балл за каждую арифметическую ошибку.

Сравнение прибылей и верный ответ стоит 5 баллов (которые участник не получит, если в результате арифметической ошибки результат сравнения поменялся).