Тройные бутерброды

Задача

Московская олимпиада школьников — 2014

11-й класс

Средняя: 7.5 (4 оценок)

Данил Фёдоровых

18.03.2015, 19:25 (Илья Лукибанов)
19.03.2015, 23:48

(1)

Данил Мыльников

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

В стране Гамма производятся только товар $X$ и товар $Y$, капитал является единственным фактором производства. Технологии производства товаров задаются уравнениями $q_x=K_x$, $q_y=K_y^2$. Общий запас капитала в экономике равен 60. Жители страны Гамма потребляют эти товары только в виде бутербродов, намазывая на единицу товара $X$ две единицы товара $Y$. Чем больше бутербродов они съедят, тем лучше себя чувствуют.

а) Запишите уравнение кривой производственных возможностей страны Гамма и изобразите КПВ на графике.
б) Предположим, распределение ресурса между производством товаров осуществляется мудрым правителем, который заботится только о благосостоянии граждан. Сколько бутербродов съедят жители страны Гамма? Отметьте соответствующую точку на КПВ.
в) Жители страны Гамма узнали, что бутерброд станет вдвойне вкусней, если намазать на него еще единицу товара $Z$. Технология производства товара $Z$ неизвестна, но производители страны Дельта готовы продать товар $Z$ по цене 2 единицы товара $X$ за штуку. Мудрый правитель решил, что теперь жители страны Гамма будут есть только бутерброды «$X+2Y+Z$». Сколько бутербродов они съедят?

Решение и ответ

а)$K_x=q_x$, $K_y=\sqrt{q_y}$, $K_x+K_y = 60$ отсюда $q_x+\sqrt{q_y} = 60$ уравнение КПВ.

б) Находим на этой кривой точку $2X=Y$, получаем $X=50$, $Y=100$. Это соответствует 50 бутербродам.
в) Пусть $x$ — экспорт товара $X$. Тогда $Z=x/2$. Кроме того, в соответствии с пропорциями бутерброда, $2X=Y=2Z$, а также из КПВ $(X+x)+\sqrt{Y}=60$. Получаем систему из 4 уравнений с 4 неизвестными, она решается:
\begin{align*}
X=Z=18, && Y=36, && x=36.
\end{align*}
Получается, что жители съедят 18 бутербробов.

Критерии

а) (5 баллов)

3 балла за уравнение КПВ и 2 балла за график
б) (7 баллов)

4 балла за верную пропорцию, 3 балла за решение с этой пропорцией.

Снимается 1 балл за арифметическую ошибку.

Снимается 4 балла, если пропорция рассчитана наоборот ($X=2Y$).

Снимается 2 балла, если точка найдена, но не отмечена на графике.

в) (8 баллов)

4 балла за систему уравнений (возможно, с другими обозначениями) и 4 балла за ее решение.

Снимается 1 балл за арифметическую ошибку.

Все задачи этой олимпиады

10-й класс

Задача	Баллы
Болты и Гайки	25
Евросок	25
Тонкая настройка
Электроники-10	25

11-й класс

Задача	Баллы
Корреляция без причины — признак дурачины	20
Сговор и потолок	20
Три страны	20
Тройные бутерброды	20
Электроники-11	25

9-й класс

Задача	Баллы
Бутерброды-XY	30
Тонкая настройка
Электроники-9	40

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады