Задача 1 ОЧ-2016 (8 класс): Взвешенное решение

Если чаши при первом взвешивании остались в равновесии, то вторым взвешиванием кладем на чаши вторых весов монеты с номерами 1, 2, 3 и 5, 6, 7. Если в этот раз чаши оказались на разном уровне, то мы нашли хорошие весы и три монеты, среди которых фальшивая, за последнее взвешивание на них найдем фальшивую монету.

Если и во второй раз чаши находятся в равновесии, то возможна одна из двух ситуаций: первые весы неисправны, а фальшивая монета – одна из 4, 8, 9; вторые весы неисправны и 9 – фальшивка. Таким образом, если третьим взвешиванием положить на вторые весы монеты 4 и 8, то, в зависимости от исхода, достоверно определим фальшивую монету: если чаши в равновесии – фальшивая монета с номером 9, если одна перевешивает, то та, чаша с которой легче.

Докажем, что за два взвешивания точно определить нельзя, будем действовать от противного и рассмотрим варианты первого взвешивания:

1. На чашах – по 4 монеты, на весах – неравновесие, тогда за оставшееся одно взвешивание не получится выявить фальшивую монету из 4 подозрительных.
2. Если на чашах было меньше, чем по 4 монеты, но равновесие при первом взвешивании, то отложено больше одной монеты, и если проведем второе взвешивание на вторых весах (это необходимое условие для проверки весов), а они окажутся неисправными, то мы не сможем понять, какая из отложенных монет фальшивая.

Таким образом, Вася не сможет сделать меньше трех взвешиваний, то есть отдаст Жоре не меньше трех монет. Фальшивую монету Жора не возьмет, а значит Вася сможет купить не больше 5 кг конфет.

Ответ: 5 кг.
Примечание: допускается использование других путей решения или оформление с помощью графа последовательных событий.

б) Из 9 монет на исправных весах определить фальшивую монету можно за 2 взвешивания: кладем на обе чаши по три монеты; если одна из чаш перевешивает, то фальшивая монета на чаше, оказавшейся легче; если чаши оказались в равновесии, то фальшивая – одна из трех оставшихся монет. Таким образом мы выбрали три монеты, среди которых есть фальшивая. Вторым взвешиванием кладем по одной монете на чаши из выбранной тройки, определяем, какая из них фальшивая аналогично алгоритму первого взвешивания.

За одно взвешивание определить фальшивую монету нельзя, так как, сколько бы монет мы ни положили на чаши в первом взвешивании, после него может остаться несколько монет, среди которых будет фальшивка (можно разобрать каждый случай: по 1, по 2, по 3, по 4 на каждой чаше в первое взвешивание). Жоре Вася отдаст 3 монеты, значит, чтобы мальчику выгодно было идти к Константину, цена одного взвешивания не должна превышать 1,5 монеты.

Ответ: 1,5 монеты.