Рейтинги неравенства

Пусть x — доля более бедной группы в населении, а y — ее доля в доходе. Тогда коэффициент Джин равен x-y, а отношение среднедушевого дохода в группе богатых к среднедушевому доходу в группе бедных равно $\frac{(1-y)x}{(1-x)y}$.
(а) Нет. (б) Нет. Контрпример один и тот же. Пусть в первом регионе бедная группа составляет 20% населения и обладает 10% дохода, а во втором регионе бедная группа составляет 25% населения и обладает 14% дохода. Тогда коэффициенты Джини равны 0,2-0,1=0,1 и 0,25-0,14=0,11 соответственно. Поскольку в обоих этих регионах бедная группа составляет не меньше 20%, но и не больше 80% населения, 20% беднейших в каждом из этих регионов будут целиком принадлежать бедной группе, а 20% богатейших — целиком принадлежать богатой группе, из чего следует, что значения мер, используемых университетами Р. и М., совпадут. Они будут равны $\frac{(1-0,9)0,2}{(1-0,2)0,9}=\frac{9}{4}$ для первого региона и $\frac{(1-0,14)0,25}{(1-0,25)0,14}=\frac{43}{21}$ для второго. Как видим, университет В. придет к выводу, что в первом регионе неравенство меньше (0,1<0,11), а другие университеты — что оно меньше во втором регионе $(\frac{43}{21}<\frac{9}{4} )$. Значит, в рейтинге В. первый регион будет выше, чем второй, а в рейтингах Р. и М. — наоборот, второй выше, чем первый, и рейтинги не совпадут.

(в) Нет. Ясно, что пример надо искать среди случаев, когда в одной из групп меньше 20% населения, иначе, как было замечено выше, эти две меры просто совпадают.
Контрпример. Пусть в первом регионе бедная группа составляет 90% населения и обладает 45% дохода, а втором бедные составляют 80% населения и обладают 1/3 дохода. Тогда отношение среднедушевых доходов в первом регионе равно 11, а во втором – 8. С другой стороны, отношение доходов 20% богатейших к 20% беднейших во втором регионе также равно 8, а в первом – 6. (В первом регионе, в отличие от второго, в 20% богатейших вошли как члены более бедной, так и члены более богатой группы населения). Таким образом, рейтинги, составленные университетами, будут отличаться: в рейтинге Р. выше будет второй регион, а рейтинге M. — первый.

(г) Да. Поскольку все университеты считают, что во всех областях степень неравенства разная, есть всего два разных мнения – «в первой области неравенство больше» и «во второй области неравенство больше». Эти два мнения надо приписать трем университетам. Значит, хотя бы два университета из трех будут придерживаться одного мнения. Это рассуждение является не чем иным, как применением известного из математики принципа Дирихле.

Возникает интересная ситуация: как мы показали, любые два их трех университетов могут разойтись во мнениях по каким-то двум областям, но при этом хотя бы два из них во мнениях обязательно сойдутся.