Задача

В олимпиадах

Заключительный этап ВОШ — 2012

Раздел

Баллы

20

Темы

Сложность

8.5
Средняя: 8.5 (16 оценок)

Автор

20.04.2015, 21:39 (Илья Лукибанов)
26.05.2015, 17:15
В некоторой маленькой стране есть месторождения золота ($Au$), серебра ($Ag$) и меди ($Cu$), однако распределены они по территории страны неравномерно. В стране есть три области; в первой области есть только месторождения золота и серебра, во второй — только месторождения серебра и меди, в третьей — только месторождения золота и меди. Кривые производственных возможностей областей описываются уравнениями:
$ \begin{align*}
\text{Первая область: } 2Au_1+Ag_1&=140;\\
\text{Вторая область: } 2Ag_2+Cu_2&=140;\\
\text{Третья область: } 2Au_3+Cu_3&=140.
\end{align*}$
(За $Au_i$, $Ag_i$ и $Cu_i$ обозначены объемы добычи металлов в области номер $i$.)

С приближением XVII Всемирной Олимпиады растет спрос на все три металла (золото и серебро нужны непосредственно, а медь является составной частью бронзы).
а) Допустим, согласно подписанным ранее международным договоренностям, страна должна поставить оргкомитету Олимпиады 80 единиц золота и 80 единиц меди. Какое максимальное количество серебра может быть произведено в стране в этих условиях?
б) Допустим, оргкомитету нужно поставить все три металла в естественной пропорции $1:1:1$. Какие максимальные количества металлов сможет поставить страна при соблюдении этой пропорции?}