неравенство доходов

В стране имеются два региона, равные по численности населения и совокупному доходу. В каждом регионе население разделено на две равные по численности однородные группы: все представители одной группы получают одинаковый доход. Доходы представителей двух групп первого региона равны $x_1$ и $x_2$, а доходы представителей двух групп второго региона равны $y_1$ и $y_2$. Коэффициенты Джини в первом и втором регионах равны соответственно $G_1$ и $G_2$, а коэффициент Джини во всей стране равен $G$.

Известно, что кривая Лоренца проходит через точку $(\frac{1}{2},\frac{1}{8})$ и описывается кубическим многочленом.

а) Найдите коэффициент Джини для данной экономики.

б) Найдите, каким именно многочленом описывается кривая Лоренца.

В компьютерной игре у Алекса есть несколько друзей в гильдии. В начале дня у одного из друзей было 5 единиц ресурса "золото", а у остальных (включая Алекса) — 0. После совместного прохождения подземелья каждый из друзей Алекса получил бонус 4 золота, но Алекс бонуса не получил из-за бага в системе. Чтобы исправить это, администратор сервера вручил Алексу некоторое количество золота. Будучи знатоком теории игр, администратор хотел, чтобы Алекс обрадовался (получил много золота), но чтобы неравенство распределения золота в гильдии не выросло.

Как вы знаете, помимо индекса Джини ($G$) существует ещё один показатель неравенства доходов — индекс Робин Гуда ($H$). Он показывает, какая минимальная доля суммарного дохода должна быть перераспределена от более богатых к бедным, чтобы в обществе наступило полное равенство.

Учитывая, что индекс Робин Гуда можно вычислить как максимальное вертикальное расстояние между кривой Лоренца и линией абсолютного равенства, докажите, что для любых распределений дохода выполняются неравенства:

$$H \leqslant G \leqslant 2H.$$

Сравните индекс Джини и индекс Робин Гуда, если:

а) рассматриваемое общество состоит из $n$ групп, в каждой из которых доходы распределены равномерно. Решите для случаев:

1) $n = 2$,

2) $n = 3$,

3) всех $n \geq 2$.

б) кривая Лоренца описывается гладкой функцией $y = f(x)$, где $x$ — доля беднейшего населения, $y$ — доля совокупного дохода, которой владеет доля $x$ беднейшего населения.

Примечание: индекс Робин Гуда показывает, какую долю совокупного дохода необходимо перераспределить для достижения полного равенства.

В стране Барбиленд есть две группы населения - девушки и мэны. На каждую девушку приходится по 7 мэнов. Доход внутри групп распределен равномерно, а каждая девушка получает в 7 раз больше, чем один мэн.

a) Постройте кривую Лоренца и найдите коэффициент Джини в Барбиленде.

Докажите следующую формулу коэффициента Джини для $n$ групп: $$G=\sum_{i=1}^{n-1}(y_{i+1}\cdot x_i-y_i\cdot x_{i+1}), \text{ где } x — \text{ доля населения, а } y \text{ — доля дохода}$$

Кривая Лоренца задана окружностью произвольного радиуса $R\geq 1$. Определите значение коэффициента Джини в зависимости от $R$.

Определите значение индекса Робин Гуда для следующей кривой Лоренца: $$x=\frac{5}{13}y^3-y^2+\frac{21}{13}y, \;\;\; \text{где } x \text{ — доля населения, а } y \text{ — доля дохода}$$

в Москве, а конкретно в районе Очаково живут 100 человек обладающие сумарным доходом I=100, а кривая неравенства имеет вид y=x^2. В очаково есть только 1 товар на который можно потратить деньги (злосчастный очаковский квас) поэтому финансово неграмотные очаковцы тратят весь доход на него
вывидите функцию спроса на очаковский квас в очаково
(больше одной бутылки кваса они выпить не в силах)