неравенство доходов

Задача 6. (16 баллов)

Кривая Лоренца задается уравнением Y = X/2 – Х.
Х - доля населения страны
Y - доля доходов
Доходы 10% богатейших жителей данной страны относятся к доходам 10% бедней¬ших как:

Читая деловые газеты или слушая аналитические передачи, можно часто встретить случаи "экзотического" использования математики при анализе экономических явлений. Вот несколько примеров. Ваша задача - найти ошибку в рассуждениях.

Пример 1:

"В конце концов, по данным официальной статистики, в январе 2008-го к январю 2007-го цены на молочную продукцию выросли на 32,4%, а в январе 2009-го к январю 2008-го - на 10,3%. Итого за два года - 42,7%."

На некоторой планете, где повсюду царят гармония и единство, есть два королевства, которые так и называются - Гармония и Единство.Известно, что число жителей в обоих королевствах одинаковое, а произведение среднедушевых доходов этих королевств равняется единице.
Также есть некоторая информация о доходах в обоих королевствах:
Доход первого жителя Единства равен $S_1$, второго - $S_2$ и так далее, доход $n$-ого жителя - $S_n$.

В некотором Округе кривая Лоренца задается уравнением $y=1-\sqrt{1-x^2}$.
а) Какой долей совокупного дохода Округа обладают 60% беднейших? 20% богатейших?
б) Рассчитайте коэффициент Джини.

100 человек выиграли в лотерею. Первый выиграл 1 долл., второй - 2 долл., третий - 3 долл., и.т.д. Сотый человек выиграл 100 долл. Определить значение коэффициента Джини.

В стране Нумерландии все люди вместо имен носят номера от 1 до N. Известно, что для любого номера $k$ справедливо равенство: $$\frac{M(k+1)}{M(k)}=(1+\frac{1}N),$$ где $M(k)$ - доход, получаемый нумерландцем с номером $k$. Определите коэффициент Джини в стране Нумерландия, предполагая, что N - бесконечно большая величина.

Подсказка:$$\lim_{N \to \infty}{(1+\frac{1}N)^N}=e$$

В стране Герфиндалии проживают две однородные, не равные по численности группы населения – ричи и пуры. Доход граждан внутри каждой из групп одинаков, причем один рич получает в пять раз больше, чем один пур. Коэффициент Джини, исчисленный для этой страны, оказался равен 1/3. Определите, на сколько процентов ричей меньше, чем пуров.

 

Некое общество состоит из двух социальных групп, внутри каждой из которых доход распределен равномерно. Известно, что среднедушевой доход в первой группе составляет 5 тыс. руб. в месяц, во второй – 25 тыс. руб. в месяц, а во всем обществе среднедушевой доход составляет 20 тыс. руб. в месяц. Определите значение коэффициента Джини для этого общества.

 

Страна, в которой Вы отвечаете за социально-экономическую политику, разделена на четыре федеральных округа, отличающихся по степени неравенства доходов. Из проверенных статистических источников Вам известны уравнения кривых Лоренца, характеризующие неравенство дохода в этих округах.

Первый округ: $y=x^2$.
Второй округ: $y=\sqrt{\frac{x^6+x^2}{2}}$.
Третий округ: $y=\frac{x^3+x}{2}$.
Четвертый округ: $y=\frac{2x^3}{1+x^2}$.

Расположите округа по возрастанию неравенства доходов.