Вещество и антивещество

а) Решим задачу для произвольного $v$ .
Найдем сначала спрос электростанции на антивещество.Пусть цена антивещества равна $a$ . Электростанция максимизирует прибыль: $\pi_{ЭС}=(100-Q)Q-(a+v)Q-FC \rightarrow max$
где $Q$ — объем производимой электроэнергии (который численно совпадает с объемами используемого вещества и антивещества). График целевой функции является параболой с ветвями вниз, и поэтому ее максимум достигается в вершине параболы: $Q=\frac{100-a-v}{2}=50-\frac{a+v}{2}$ Этим уравнением и задается спрос на антивещество.
Зная этот спрос, БАК будет максимизировать свою прибыль:
$\pi_{БАК}=(50-\frac{a+v}{2})a-FC \rightarrow max$
И вновь, график целевой функции является параболой с ветвями вниз, и потому максимум функции достигается в вершине параболы: $a=\frac{100-v}{2}$ .
Таким образом, при $v=0$ оптимальная цена антивещества равна 50. По этой цене электростанция купит 25 единиц антивещества, произведет 25 единиц электроэнергии, которые продаст по цене $100-25=75$ .

б) При росте цены вещества, БАКу будет выгодно изменить цену антивещества. Действительно, как следует из технологии производства, вещество и антивещество являются для электростанции факторами-комплементами, и потому при росте цены вещества спрос станции на антивещество сократится. В данном случае линия спроса на антивещество сдвинется параллельно вниз по оси цен на величину $\Delta V= 1$ руб. Падение спроса приведет к тому, что БАКу будет выгодно снизить цену на антивещество. Если БАК не изменит цену, то он окажется на эластичном участке новой функции спроса на свою продукцию, т.е. на антивещество. Значит, ему будет выгодно снизить цену до уровня, обеспечивающего получение максимума выручки. А так как по условию задачи все его издержки фиксированы, то рост выручки позволит ему увеличить прибыль, на которую он может рассчитывать в новых условиях. Иными словами, рост $V$ приведет к падению $a$. Значит, средние переменные издержки электростанции (величина $a+v$ ) вырастут на величину меньшую, чем прирост $v$ .
в) Просто подставим в наши формулы, полученные выше, $v=10$ . Получим, что БАК назначит цену антивещества, равную 45 (как видим, $a$ действительно снизилось при росте $v$ от нуля до 10). Электростанция при этом произведет 22,5 единицы электроэнергии и продаст их по цене 77,5.