Строительство заводов

Общие для обоих пунктов соображения:
0) Допустим, страна хочет произвести единиц Икса. Вторая координата на КПВ в точке X показывает максимально возможное производство Игрека при условии, что производится X единиц Икса. Таким образом, чтобы найти КПВ, нам нужно решить следующую задачу: при каждом значении X понять, сколько и каких заводов нужно построить стране, и как распределить между ними производство Игрека, так чтобы суммарное производство Игрека было максимальным.
1) Заметим, что при любом X страна не будет строить больше одного завода по производству Игрека. Предположим противное – построено несколько заводов и на них в сумме произведен некий объем Y Игрека. Обозначим за $c_{min}$ минимальные удельные затраты труда на один Игрек среди построенных заводов. Тогда если бы страна построила всего один завод с удельными затратами $c_{min}$ , и произвела на нем объем Y Игрека, то затраты труда как на производство Игрека, так и на строительство заводов были бы меньше. Высвободившийся труд можно направить на производство дополнительных единиц Игрека, а значит, изначальное решение не было оптимальным. Противоречие.
2) Таким образом, задача сводится к тому, чтобы при каждом понять, (единственный) завод какого типа нужно строить стране, чтобы максимизировать производство Игрека.
а) Зафиксируем X. После производства Икса у страны остается в распоряжении 100-X единиц труда. Если построить завод с первой технологией, то страна сможет произвести $\frac{100-X-10}{2}=45-X/2$ единиц Игрека. Если построить завод со второй технологией, то страна сможет произвести $\frac{100-X-25}{1}=75-X$ единиц Игрека. Если построить завод с третьей технологией, то страна сможет произвести $\frac{100-X-40}{1/2}=120-2X$ единиц Игрека.
То, какой завод строить, определяется просто тем, какое из чисел $45-X/2$, $75-X$, $120-2X$ больше при данном .
Проще всего это сделать, построив графики этих трех прямых. Искомой КПВ будет ломаная линия, являющаяся «верхней огибающей» трех этих графиков. Проведя такой анализ, видим, что при $X \leqslant 45 $ надо строить завод с третьей технологией, при $45 \leqslant X \leqslant 60 $- завод со второй технологией, а при $60 \leqslant X \leqslant 90 $ - завод с первой технологией. При у страны нет достаточного количества ресурсов для постройки заводов), и максимальное производство Игрека будет равняться нулю.
Таким образом, уравнение КПВ имеет вид

$\begin{equation*}
Y =
\begin{cases}
120-2X, &\text{если X<45}\\
75 - X, &\text{если $45 \leqslant X \leqslant 60$}\\
45 - X/2, &\text{если $60 < X \leqslant 90$}\\
0, &\text{если $90 < X \leqslant 100$}
\end{cases}
\end{equation*}$

Ее график – это ломаная с точками излома (45, 30), (60,15), (90,0).

б) Если страна тратит $(10-√l)$ единиц труда на постройку завода, то для производства Y единиц продукции Игрек потребуется $lY$ рабочей силы. Значит, общая рабочая сила раскладывается на слагаемые, задействованные в разных видах деятельности, следующим образом:
$(10-\sqrt{l})+X+lY=100$. Отсюда $Y=(90+\sqrt{l}-X)/l=(90-X)/l+\frac{1}{\sqrt{l}}$.
1) Заметим, что при $X≤90$ эта функция убывает по $l$, то есть если мы хотим произвести меньше 90 единиц Х, то нужно выбирать минимально возможный $l=1/4$. КПВ тогда будет иметь уравнение $Y=362-4X$.
2) Функцию Y можно записать как $Y=(90-X) t^2+t$, где $t=\frac{1}{\sqrt{l}}$. Если $X>90$, то это парабола с ветвями вниз относительно $t$, вершина которой достигается при $t=1/(2X-180)$. Согласно условию задачи, $t$ должно попасть в отрезок [1/2; 2], что эквивалентно попаданию X в отрезок [90,25; 91]. Получаем, что на данном участке уравнение КПВ имеет вид $Y=1/(4X-360)$.
3) Что происходит при X∈(90;90,25)? Парабола, описанная выше, достигает своей вершины вне этих множеств, значит, нужно выбрать ближайшую к вершине точку, то есть $l=1/4$. При этом соответствующий участок КПВ будет описываться уравнением $Y=362-4X$.
4) Что если X∈(91;100]? Во-первых, заметим, что если страна произведет $X>92$, то не сможет построить ни одного завода, так как $10-\sqrt{l}$∈[8;9,5] — на строительство завода нужно не меньше 8 единиц труда. Значит, для производства ненулевого Y нужно произвести не больше 92 единиц X. Осталось рассмотреть X∈(91;92]. При таких значениях X парабола, описанная выше, достигает своей вершины вне допустимого множества, значит, нужно выбрать ближайшую к вершине точку, то есть $l=4$. При этом соответствующий участок КПВ будет описываться уравнением $Y=23-X/4$.
В итоге имеем уравнение КПВ:
$\begin{equation*}
Y =
\begin{cases}
362-4X, &\text{если X<90,25}\\
\frac{1}{4X-360}, &\text{если $90,25 \leqslant X \leqslant 91$}\\
23 - X/4, &\text{если $60 < X \leqslant 90$}\\
0, &\text{если $X>92$}
\end{cases}
\end{equation*}$

График выглядит следующим образом:

В месте вхождения КПВ в ось X линия выглядит так крупным планом: