Самокатный сговор

Фирма Альфа согласится на сделку, только прибыль Альфы составляет $Π_A=17,5*5-1,5*25=50.$
Найдем совокупную прибыль компаний, если сделка будет совершена. Для этого решим задачу
$Π(Q_A+Q_B )=(20-1/2 (Q_A+Q_B ))(Q_A+Q_B )-1,5Q_A^2-6Q_B→max$
Максимум совокупной прибыли будет достигнут в том случае, когда совокупные издержки компаний будут минимальны (иначе тот же объем продукции можно было бы выпустить с меньшими затратами, получив большую прибыль). При этом при положительных объемах производства товаров каждой фирмой, минимальные совокупные издержки могут быть достигнуты, только если $MC(Q ̃_A)=MC(Q ̃_B)$ (иначе можно выпустить последнюю произведенную единицу продукции в той компании, чьи предельные издержки при данном объеме выпуска меньше, сократив при этом совокупные расходы на производство объема $(Q ̃_A+Q ̃_B).$ Тогда
$MC(Q ̃_A)=3Q ̃_A=MC(Q ̃_B )=6$, откуда $Q ̃_A=2$. Т.е., при совокупном выпуске продукции в количестве более 2 единиц, предельные издержки компаний будут равны, если завод Альфа выпускает только 2 единицы продукции. Дальнейшее повышение объемов выпуска компанией Альфа приведет к тому, что ее предельные издержки возрастут, в то время, как предельные издержки компании Вега останутся неизменными и равными 6. Если же совокупный объем выпуска компаний менее 2 единиц продукции, то предельные издержки компании Альфа меньше, чем предельные издержки компании Вега, при любом распределении выпусков, что требует выпуска всего объема продаж (до 2 единиц) компанией Альфа для минимизации совокупных издержек.
Тогда функцию совокупных издержек можно представить в виде:
$\begin{equation*}
TC(Q) =
\begin{cases}
1,5Q^2, &\text{если $Q≤2$}\\
6+6(Q-2), &\text{если $Q>2$}
\end{cases}
\end{equation*}$
При этих издержках задача максимизация совокупной прибыли имеет вид:
$\begin{equation*}
\begin{cases}
(20-1/2 Q)Q-1,5Q^2→max, &\text{если $Q≤2$}\\
(20-1/2 Q)Q-6Q+6→max, &\text{если $Q>2$}
\end{cases}
\end{equation*}$
Для каждого интервала график максимизируемой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз, что гарантирует нам достижение максимума в вершине параболы. Легко убедиться, что максимум прибыли достигается при $Q^*=14$, при этом $P^*=13$, откуда совокупная прибыль равна 13*14-6*14+6=104. В этом случае фирма Альфа получит 104/2=52 д.е. прибыли, что было бы больше, чем она получала до входа на рынок фирмы Вега.