Витаминкин

Задача

Заключительный этап ВОШ — 2014

1-й тур: Задачи

микроэкономика

компромиссный выбор

Средняя: 7 (16 оценок)

Данил Фёдоровых

Татьяна Балакина

13.03.2015, 20:26 (Глеб Крапивин)
26.05.2015, 17:15

(7)

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Индивидуальный частный предприниматель Витаминкин участвует в государственном тендере на поставку ягодного варенья. Чтобы производить требуемое количество варенья, нужно 8 кг брусники и 4 кг черники ежедневно, а также свободное время Витаминкина, альтернативную стоимость которого он оценивает в 1000 рублей в день.
Витаминкин может получить ягоды, наняв одного из двух сборщиков. Сборщик А может собрать за рабочий день максимум 20 кг черники, при этом альтернативные издержки сбора 1 кг черники для него постоянны и равны 0,5 кг брусники. Сборщик В может собрать за рабочий день максимум 12 кг черники, альтернативные издержки сбора 1 кг черники для него постоянны и равны 2 кг брусники. Сборщики могут достичь такой высокой производительности только благодаря уникальному оборудованию по сбору ягод, которое Витаминкин им предоставит в случае найма — без этого оборудования производительность каждого из них на 30% ниже.
Каждый сборщик, будучи нанятым, получает фиксированную ежедневную зарплату от Витаминкина, а также имеет право продать излишек ягод (если он у него будет) по рыночной цене 100 р. за 1 кг (кроме того, по этой цене любые ягоды может покупать и продавать кто угодно в любом количестве). Витаминкин может нанять только одного работника, при этом он сначала объявляет зарплату, которую готов выплатить, а потом сборщик решает, будет он работать или нет. (Считайте, что если сборщику безразлично, то он соглашается работать.)
а) Какую минимальную ежедневную сумму за свои поставки варенья может Витаминкин запросить у государства, чтобы не оказаться в убытке?

б) (попробуйте ответить на этот пункт даже если вы не решили предыдущий) Предположим, что правила тендера на поставку варенья устроены следующим образом. Два участника (один из которых Витаминкин) независимо друг от друга подают заявки с суммами (ставками), за которые они готовы выполнить контракт. После этого конверты с заявками вскрываются, победителем объявляется тот, чья заявленная сумма меньше, но получает он за варенье не свою ставку, а ставку другого участника (проигравшего). Если ставки одинаковые, то победителем тендера будет объявлен Витаминкин. Витаминкин ничего не знает о своем конкуренте: ни его технологию производства, ни функцию издержек, ни ставку, которую конкурент положит в конверт — известно только, что ягоды он закупает за границей. Какую сумму следует Витаминкину написать в заявке, чтобы гарантированно не оказаться в убытке и по возможности максимизировать свою прибыль?

Решение и ответ

а) Поскольку у сборщиков есть возможность альтернативного заработка (продать собранный урожай по рыночной цене 100 рублей за кг), Витаминкин, минимизируя свои издержки, должен платить им такую сумму, чтобы в совокупности с суммой, вырученной от продажи излишков сборщиком, она не превышала альтернативный заработок сборщика. Сборщику же будет в этом случае безразлично, работать у Витаминкина или продавать собранную ягоду самостоятельно по рыночной цене. Кроме того, сборщики могут приобрести ягоды на рынке и продать их Витаминкину, как собранные самостоятельно, или сам Витаминкин может купить необходимое количество ягод на рынке. Поэтому следует оценить, какой из вариантов будет выгоднее каждой стороне.
Найдем сначала альтернативный заработок каждого сборщика. Учитывая одинаковую рыночную цену любой ягоды и постоянные альтернативные издержки, каждый сборщик будет продавать ту ягоду, которой сможет собрать больше.

Тип А: Вместо одного кг черники сборщик может собрать только 0,5 кг брусники, поэтому ему стоит собирать только чернику.
Учитывая, что без оборудования Витаминкина каждый сборщик работает на 30% хуже, сборщик А заработает самостоятельно $100*20*\frac{7}{10}= 1400$ рублей в день.

Вместо одного кг черники сборщик В может собрать 2 кг брусники, поэтому ему стоит собирать только бруснику. Учитывая, разницу в производительности, сборщик В заработает самостоятельно $100*12*2*\frac{7}{10}=1680$ рублей в день.

Предположим, что сам Витаминкин приобретает необходимое количество ягод на рынке. Тогда его расходы составят $100*(8+4)=1200 $
Норматив сбора для сборщика типа А лежит точно на его КПВ, а для сборщика типа В норматив сбора лежит внутри множества его производственных возможностей. В оптимальном для себя случае ни один сборщик не будет сам производить оба вида ягод, а будет закупать на рынке ту, в производстве которой он менее эффективен. Действительно, предположим, что, например, сборщик типа В собирает ненулевое количество черники. Тогда, уменьшив сбор черники на килограмм, он смог бы произвести 2 килограмма брусники, которые он продал бы за 200 рублей, а недостающий килограмм черники купил бы за 100 — его прибыль бы увеличилась.

Тогда сборщик типа А будет собирать только чернику в объеме 20 кг, продав 16 кг черники, он сможет купить 8 кг брусники (сдав норму Витаминкину) и заработать $(16-8)*100=800$ рублей. Тогда Витаминкин может заплатить сборщику типа А не более $1400-800=600$ рублей.

Сборщик типа В будет специализироваться на бруснике, собрав ее в объеме 24 кг, тогда продав $24-8=16$ кг брусники, он сможет купить 4 кг черники (сдав норму Витаминкину) и заработать $(16-4)*100=1200 рублей$. Тогда Витаминкин может заплатить сборщику типа В не более $1680-1200=480$ рублей.

Учитывая приведенные вычисления, будет нанят сборщик В и их фиксированный заработок составит 480 рублей. Учитывая стоимость времени Витаминкина, его издержки составят 1480 рублей, то есть для того, чтобы не оказаться в убытке, он должен запросить именно такую минимальную сумму.

б) Обозначим ставку, которую сделает Витаминкин, за $b_В$, а ставку конкурента — за $b_К$. Поскольку Витаминкин ничего не знает о своем конкуренте, он не может знать, какую ставку тот сделает. Рассмотрим разные варианты:

$b_К<1480$	Если конкурент сделал ставку, меньшую, чем возможные издержки Витаминкина, то Витаминкину невыгодно выигрывать аукцион: действительно, в случае победы он получит ставку $b_К$ и окажется в убытке. Чтобы этого точно не произошло, Витаминкин должен сделать ставку $b_В≥1480$.
$b_К>1480$	Если конкурент сделал ставку, большую, чем возможные издержки Витаминкина, то Витаминкину выгодно выигрывать аукцион: действительно, в случае победы он получит ставку $b_К$ и его прибыль будет положительна. При этом величина его прибыли не будет зависеть от его ставки, если $b_В≤b_К$. Чтобы точно получить прибыль в том случае, когда это возможно, Витаминки, следовательно, должен сделать ставку $b_В=1480$.
$b_К=1480$	В этом случае прибыль Витаминкина будет нулевая при любой его ставке.

Получаем, что $b_В=1480$ является оптимальной ставкой для Витаминкина независимо от действий конкурента.

Все задачи этой олимпиады

1-й тур: Задачи

Задача	Баллы
Вещество и антивещество	25
Витаминкин	25
Ошибка бухгалтера	25
Производительность труда и НТП	25
Счастье Джона Смита	25
Увольнение и зарплата	25

2-й тур: Задачи

Задача	Баллы
Валютные риски	25
Задача про такси	25
Монетарная политика	25
Самокатный сговор	25
Строительство заводов	25
Эффективная зарплата в Средиземье	25

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Сложность

Автор

Все задачи этой олимпиады