Пол цены для монополиста

Решение 1. Составим функцию прибыли фирмы.
$$\pi(Q) = P(Q)Q − TC(Q) = \frac{16}{\sqrt{Q}} Q − 15\sqrt{Q} − 2\sqrt[4]{Q} = \sqrt{Q} − 2\sqrt[4]{Q}$$.
Поскольку пол цены равен $X$, фирма не может продать больше, чем $(16/X)^2$ единиц продукции. Обозначим это количество за $Q_X$.
Если $Q_X > 256$, фирма всегда может произвести 256 единиц, и получить прибыль в размере $16 − 2 \cdot 4 = 8 > 0$. Раз мы знаем, что фирма ушла с рынка, $Q_X \le 256$.
Таким образом, нам известно, что 0 является точкой максимума функции $\sqrt{Q} − 2\sqrt[4]{Q}$ на отрезке $[0; Q_X]$. Найдем, при каких $Q_X \le 256$ это может иметь место.
Произведем замену переменной: $t = \sqrt[4]{Q}$. Тогда $\pi(t) = t^2 − 2t$ и $t \in [0; \sqrt[4]{Q_X}]$. Заметим, что графиком функции $\pi(t)$ является парабола с ветвями вверх, и поэтому максимум этой функции на отрезке достигается в одном из концов отрезка (в вершинепараболы достигается не максимум, а минимум прибыли). Таким образом, оптимальным является либо $t = 0$, либо $t = \sqrt[4]{Q_X}$.
Значит, оптимальным является либо $Q = 0$, либо $Q = Q_X$. Следовательно, 0 является оптимальным объемом тогда и только тогда, когда прибыль в нуле строго больше, чем в точке $Q_X$. (Здесь мы учли условие о том, что фирма остается на рынке при безразлии.) Получаем неравенство
$$0 = \pi(0) > \pi(Q_X) =\sqrt{Q_X} − 2\sqrt[4]{Q_X}$$,
откуда $Q_X < 2^4$.
Значит, $(16/X)^2 < 2^4$, откуда $X > 4$.
Ответ: $X > 4$
Решение 2. Составим функцию прибыли фирмы:
$$\pi(P) = PQ(P) − TC(P) = \frac{16^2}{P} − \frac{15 \cdot 16}{P} − \frac{8}{\sqrt{P}} = \frac{16}{P} − \frac{8}{\sqrt{P}}$$.
Выясним, при каких ценах прибыль отрицательна:
$$\pi(P) < 0 \Leftrightarrow 16 − 8\sqrt{P} < 0 \Leftrightarrow P > 4$$.
Учтем ограничение:
$$Q_{max} = 256 \Leftrightarrow P_{min} = 1$$.
Заметим, что если $X > 4$, при любой допустимой цене фирма получит отрицательную прибыль, поэтому она уйдет из отрасли. В то же время если $X \le 4$, при цене $P = 4$ прибыль фирмы равна нулю, а значит ее максимальная прибыль не меньше нуля и она останется в отрасли. Таким образом, $X > 4$.