Торговля и инфраструктура

На мировом рынке страна будет продавать игреки и покупать иксы в силу сравнительного преимущества — альтернативная стоимость одного игрека внутри страны постоянна и равна $2/2=1$, в то время как на мировом рынке игреки вдвое дороже иксов. При международной торговле количество иксов и игреков, участвующих в сделке на мировом рынке, будет относиться как $2:1$ (за один игрек дают два икса), так как по условию игреки вдвое дороже иксов.
Преобразуем функцию транспортных затрат, избавившись от одной из переменных. Пусть страна участвует в международной торговле и обменивает $\tilde{x}$ иксов на $\tilde{y}$ игреков. Тогда:
$$\tilde{L} = 0,01\tilde{x}^2 + 0,01\tilde{y}^2 = 0,01(2\tilde{y})^2 + 0,01\tilde{y}^2 = 0,05\tilde{y}^2$$
Пусть $X = x + \tilde{x}$ — располагаемое (после торговли) количество иксов, равное сумме произведённого внутри страны и купленного на рынке. Аналогично, $Y = y − \tilde{y}$. Тогда $X = x + \tilde{x} = x + 2\tilde{y}$. Будем искать максимально возможное количество $Y$ для всех $X$. Будем оптимизировать функцию $Y(\tilde{y})$, считая $X$ параметром, на зависящей от $X$ области определения. Область определения можно найти из рассуждения, что количество произведённых иксов не может быть отрицательным: $x = X − 2\tilde{y} \ge 0$, откуда $\tilde{y} \le 0,5X$.
Весь труд тратится на три вида деятельности: производство иксов и игреков, а так же на транспортировку.
$$L_x = 2x = 2(X − 2\tilde{y}); L_y = 2y = 2(Y + \tilde{y}); \tilde{L} = \frac{\tilde{y}^2}{20}; L = 90$$
$$L_x + L_y + \tilde{L} = 2(X − 2\tilde{y}) + 2(Y +\tilde{y}) + \frac{\tilde{y}^2}{20} = 90$$
$$X − 2\tilde{y} + Y + \tilde{y} + \frac{\tilde{y}^2}{40} = 45$$
$$Y = 45 + \tilde{y} − \frac{\tilde{y}^2}{40} − X \to max, 0 \le y \le 0,5X$$
Графиком функции $Y(\tilde{y})$ является квадратичная парабола с ветвями вниз. Максимум достигается в вершине $\tilde{y} = 20$. Но вершина попадает в область определения только когда $\tilde{y} = 20 \le 0,5X$, то есть $X \ge 40$. В противном случае максимум будет на правой границе области определения $\tilde{y} = 0,5X$.
Следовательно, один участок границы МТВ имеет следующий вид:
$$Y = 45 + \tilde{y} −\frac{\tilde{y}^2}{40} − X = 45 + 20 −\frac{20^2}{40} − X = 55 − X$$
Другой участок границы МТВ имеет такой вид:
$$Y = 45 + \tilde{y} −\frac{\tilde{y}^2}{40} − X = 45 + 0,5X − \frac{(0.5X)^2}{40} − X = 45 − 0,5X − \frac{X^2}{160}$$
Запишем итоговый ответ:
\[Y=\begin{cases}
45 − 0,5X − \frac{X^2}{160}, 0 \le x < 40; \\
55 − X, 40 \le x \le 55.\end{cases}\]