Тяп-Ляп

Пусть $\beta$ — снижение процента брака, тогда доля продукции с дефектом составит $\alpha − \beta$. Задача фирмы:
$\pi (q, \beta) = 8(1 − \alpha + \beta)q − q^2 − 2(\alpha − \beta)q − 25\beta \longrightarrow \max_{q>0, \alpha>\beta>0}$ (5 баллов)
Далее можно действовать двумя способами.
Способ 1:
Заметим, что прибыль $\pi (q, \beta)$ является линейной функцией относительно $\beta$, значит, максимум прибыли будет достигаться в крайних точках области определения (2 балла). Так как $\beta \in [0, \alpha]$, то в оптимуме либо $\beta = 0$, либо $\beta = \alpha$ (2 балла).
Если $\beta = 0$, то целевая функция принимает вид:
$\pi (q) = 8(1 − \alpha)q − q^2 − 2q\alpha \longrightarrow \max_{q>0}$ (1 балл)
Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является
\[q=\begin{cases}
4 − 5\alpha, & \text{если }\alpha \le 0,8; \\
0, & \text{если }\alpha > 0,8.\end{cases}\]
(1 балл за каждую строчку системы)
Тогда максимум прибыли составит
\[\pi=\begin{cases}
(4 − 5\alpha)^2, & \text{если }\alpha \le 0,8; \\
0, & \text{если }\alpha > 0,8. \end{cases}\]
(1 балл за каждую строчку системы)
Если $\beta = \alpha$, то целевая функция принимает вид:
$\pi (q) = 8q − q^2 − 25\alpha \longrightarrow \max_{q>0}$ (1 балл)
Относительно выпуска это парабола с ветвями вниз (1 балл), поэтому решением является $q = 4$ (1 балл), тогда максимум прибыли составит $\pi = 16 − 25\alpha$ (1 балл).
Теперь остается сравнить прибыль в двух случаях.
При $\alpha \le 0,8$ сравниваем $(4 − 5α)^2$ и $16 − 25\alpha$ (1 балл). Получаем, что
$\bullet$ при $\alpha < 0,6$: $\beta = \alpha$, то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)
$\bullet$ при $\alpha = 0,6$: $\beta = 0$ или $\beta = \alpha$, то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)
$\bullet$ при $\alpha \in (0,6; 0,8]$: $\beta = 0$, то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)
При $\alpha > 0,8$ сравниваем 0 и $16 − 25\alpha$ (1 балл). Получаем, что при $\alpha > 0,8$ всегда нерационально вкладываться в снижение брака, поэтому $\beta = 0$. (1 балл)
Способ 2:
График прибыли $\pi (q, \beta)$ как функции от выпуска является параболой с ветвями вниз (2 балла), поэтому оптимальным выпуском является
\[q=\begin{cases}
4 − 5\alpha + 5\beta, & \text{если }\alpha − \beta \le 0,8; \\
0, & \text{если }\alpha − \beta > 0,8.\end{cases}\]
(2 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)
Тогда максимум прибыли составит
\[\pi(\beta)=\begin{cases}
25\beta^2 + (15 − 50\alpha)\beta + (4 − 5\alpha)^2, & \text{если }\alpha − \beta \le 0,8; \\
−25\beta, & \text{если }\alpha − \beta > 0,8. \end{cases}\]
(4 балла за первую строчку, 1 балл за вторую строчку системы)
При $\alpha − \beta \le 0,8$ графиком зависимости максимальной прибыли от снижения брака является парабола с ветвями вверх, значит, максимум будет достигаться в одном из концов области определения (2 балла). Поэтому в оптимуме или $\beta = 0$, или $\beta = \alpha$ (2 балла). Абсцисса вершины этой параболы $\beta_0 = \alpha − 0,3$. Парабола симметрична относительно прямой $\beta = \beta_0$ (1 балл), поэтому максимум прибыли будет достигаться
$\bullet$ в левой границе $\beta = 0$, если $\beta_0 > 0,5\alpha$ (т.е. если вершина правее середины отрезка);
$\bullet$ в правой границе $\beta = \alpha$, если $\beta_0 < 0,5\alpha$ (т.е. если вершина левее середины отрезка);
$\bullet$в обоих концах, если $\beta_0 = 0,5alpha$.
Таким образом,
$\bullet$ при $\alpha < 0,6$: $\beta = \alpha$, то есть выгодно снизить брак до 0; (1 балл)
$\bullet$ при $\alpha = 0,6$: $\beta = 0$ или $\beta = \alpha$, то есть фирме без разницы, снизить брак до нуля или не снижать вообще; (1 балл)
$\bullet$ при $\alpha \in (0,6; 0,8]$: $\beta = 0$, то есть фирме рационально не вкладываться в снижение брака. (1 балл)
При $\alpha − \beta > 0,8$ максимальная прибыль убывает по $\beta$ (1 балл), следовательно, для максимизации функции $\pi(\beta)$ на отрезке $\beta \in [0, \alpha]$ необходимо брать минимальное допустимое значение $\beta$: $\beta = 0$. Тогда $\alpha − \beta > 0,8$ эквивалентно $\alpha > 0,8$, то есть при $\alpha > 0,8$ фирме не выгодно вкладываться в снижение брака (1 балл).