Лапша

а) (4 балла) Способ 1. Составим функцию прибыли фирмы 2 в зависимости от
назначаемой ею цены:
$$\pi_2(p_2) = p_2 \cdot q_2 − 4q_2 = (p_2 − 4) \cdot (12 − p_2).$$
Графиком этой квадратичной функции является парабола с ветвями вниз. Ее максимум находится в вершине, $p^*_2 = 8$, а максимальная ежегодная прибыль равна $π^*_2 = (8 − 4)\cdot(12 − 8) = 16$. Именно на такую минимальную сумму будет согласен владелец фирмы из Донского леса.
Способ 2. Составим функцию прибыли фирмы 2 в зависимости от выбранного ею объема производства:
$$\pi_2(q_2) = p_2 \cdot q_2 − 4q_2 = (12 − q_2 − 4) \cdot q_2.$$
Графиком этой квадратичной функции является парабола с ветвями вниз. Ее максимум находится в вершине, $q^*_2 = 4$, а максимальная ежегодная прибыль равна $π^*_2 = (12 − 4 − 4) \cdot 4 = 16$. Именно на такую минимальную сумму будет согласен владелец фирмы из Донского леса.
Способ 3. Функция предельного дохода, порожденная кривой спроса на продукцию второй фирмы, имеет вид $MR(q_2) = 12 − 2q_2$, а предельные издержки равны 4.
При убывающей функции предельного дохода и постоянных предельных издержках их пересечение даст максимум: $12 − 2q_2 = 4$, откуда $q^*_2 = 4$, цена (в соответствии с функцией спроса) равна $p^*_2 = 8$, а максимальная прибыль равна $π^*_2 = 4 \cdot 8 − 4 \cdot 4 = 16$.
Именно на такую минимальную сумму будет согласен владелец фирмы из Донского леса.
При любом способе решения:

• 1 балл за понимание, что искомая сумма — максимальная прибыль 2-й фирмы.
• 2 балла за поиск оптимального q или p (в зависимости от способа решения). Из них 1 балл снимается, если не проверено, что найден именно максимум (достаточное условие).
• 1 балл за вычисление ответа.

б) (16 баллов) Объединенная фирма (назовем ее фирмой M) будет владеть двумя технологиями и продавать товар на двух рынках.
Чтобы прибыль была максимальна, распределение производства между технологиями должно минимизировать общие издержки для выбранного объема выпуска (иначе можно будет снизить издержки, и прибыль увеличится).
Способ 1. Перед владельцем новой фирмы стоит задача минимизации функции
$$TC_M(q_1, q_2) = q^2_1 + 4q_2$$
при ограничении $q_1 + q_2 = Q$, где $Q \ge 0$ — параметр. Подставим $q_2$ из ограничения в целевую функцию:
$$TC_M(q_1, Q) = q_1^2 + 4(Q − q_1) = q^2_1 − 4q_1 + 4Q.$$
Относительно $q_1$ это квадратичная парабола с ветвями вверх, то есть для минимизации издержек нужно выбрать точку в ее вершине: $q_1 = 2$, откуда $q_2 = Q − 2$, а общие издержки равны $TC_M(Q) = 2^2−4\cdot2+4Q = 4Q−4$. Ясно, что эти ответы верны только при $Q \ge 2$, при меньших значениях $Q$ нужно всё производить на первом заводе (там издержки на каждую произведенную единицу меньше). Получаем функцию общих затрат:
\[TC_M(Q)=\begin{cases}
Q^2, & \text{если }Q < 2; \\
4Q − 4, & \text{если }Q \ge 2.\end{cases}\]
Способ 2. Если объединенная фирма хочет использовать обе технологии, то распределить производство нужно так, чтобы предельные издержки на двух производствах были равны (иначе можно будет перенести немного продукции оттуда, где они больше, туда, где меньше, и сократить тем самым общие издержки). Иными словами, $MC_1 = MC_2$, то есть $2q_1 = 4$ и $q_1 = 2$. Итак, если используются обе технологии, то по первой из них производится 2 единицы, а по второй производится $Q − 2$ единиц. Общие издержки равны $TC_M(Q) = 22 − 4 \cdot 2 + 4Q = 4Q − 4$. Ясно, что эти ответы верны только при $Q \ge 2$, при меньших значениях $Q$ нужно всё производить по первой технологии (там предельные издержки каждой из первых двух единиц меньше, чем предельные издержки на любую единицу по второй технологии). Получаем функцию общих затрат:
\[TC_M(Q)=\begin{cases}
Q^2, & \text{если }Q < 2; \\
4Q − 4, & \text{если }Q \ge 2.\end{cases}\]
За нахождение издержек можно было получить максимум 6 баллов, причем (баллы указаны кумулятивно):

• 2 балла ставилось за указание того, что до двух единиц производится на 1-м заводе, а все последующие – на втором (при этом снимается один балл, если участник забыл описать случай, в котором общий объем производства меньше 2).
• 3 балла ставилось за верную запись МС без нахождения ТС (или ошибку в формуле ТС).
• 6 баллов ставилось за верное нахождение формулы ТС (и при этом безошибочное выполнение предыдущих шагов).

Теперь перейдем к максимизации прибыли с учетом спроса. Если фирма хочет продавать $q_1$ единиц продукции на первом рынке и $q_2$ единиц на втором рынке, то ее общая прибыль составит:
$\pi_M(q_1, q_2) = p_1 \cdot q_1 + p_2 \cdot q_2 − TC(q_1 + q_2) = (64 − q_1)q_1 + (12 − q_2)q_2 − $\[\begin{cases}
(q_1 + q_2)^2, & \text{если }q_1 + q_2 < 2; \\
4(q_1 + q_2) − 4, & \text{если }q_1 + q_2 \ge 2.\end{cases}\]
Объединенная фирма будет продавать больше 2 единиц продукции — даже на любом из рынков по отдельности предельный доход от второй единицы существенно выше предельных издержек $(MR_1(2) = 60; MR_2(2) = 8, MC(2) = 4)$. Значит, функцию прибыли можно переписать как
$\pi_M(q_1, q_2) = (64 − q_1)q_1 + (12 − q_2)q_2 − 4(q_1 + q_2) − 4 = (60q_1 − q_1^2) + (8q_2 − q_2^2) − 4.$
Мы перегруппировали слагаемые так, чтобы функция представляла собой сумму двух квадратичных функций, графиками которых являются параболы с ветвями вниз (и константы, не влияющей на максимизацию), одна из которых зависит только от $q_1$, а другая — только от $q_2$. Максимизируя слагаемое в первых скобках по $q_1$, мы тем самым максимизируем всю функцию прибыли по $q_1$ — ведь выражение во вторых скобках от $q_1$ не зависит. Аналогично, чтобы выбрать значение $q_2$, оптимальное для всей функции прибыли, достаточно максимизировать выражение во вторых скобках. Вершины обеих парабол легко найти: $q^*_1 = 30$, $q^*_2 = 4$, соответствующие цены: $p^*_1 = 34$, $p^*_2 = 8$. Максимальное значение прибыли равно $\pi^*_M = (60 \cdot 30 − 30^2) + (8 \cdot 4 − 4^2) + 4 = 30^2 + 4^2 + 4 = 920$.
Чтобы узнать, сколько первая фирма будет готова заплатить за объединение, найдем ее изначальную прибыль. Эта задача аналогична задаче, решенной в пункте а), только функция спроса издержек имеет вид $q_1 = 64 − p_1$, а функция издержек имеет вид $TC_1 = q^2$. Максимизация прибыли даст $q^*_1 = 16$, $p^*_1 = 48$, $\pi^*_1 = 512$. После объединения прибыль владельца первой фирмы увеличится на $\pi^*_M − \pi^*_1 = 920 − 512 = 408$.
Оценивание этой части решения проводилось по следующим критериям:

• 2 балла за корректный разбор случая, когда суммарный объем производства меньше 2, и объяснение, почему оптимум не на этом промежутке
• При разборе случая, когда суммарный выпуск больше 2:
  - 1 балл за верную запись функции прибыли
  - 2+2 балла за нахождение $q^*_1$ и $q^*_2$ (из них по одному баллу снимается, если не проверено, что найден именно максимум)
  - 1 балл за подсчет прибыли Чайки до объединения (этот балл ставился, только если участник предпринимал попытки использовать полученный результат при ответе на вопрос пункта б)
  - 1 балл за идею о том, что искомая сумма – разница двух максимальных прибылей
  - 1 балл за верный ответ

Независимо от способа решения в работе участника для всех оптимизационных задач должно быть проверено достаточное условие максимума, т. е. должна быть ссылка на то, что у параболы ветви вниз, или что $\pi'$ меняет знак с плюса на минус, или что $\pi''$ отрицательна, или что $MR$ убывает, а $MC$ постоянны.