Счастливые часы

а) (8 баллов за пункт) Считая, что в каждый из рабочих часов в кафе продается ненулевое количество порций, найдем общий спрос:
$Q=(132-p)+(133-p)+⋯+(141-p)=1365-10p.$ (4 балла)
Тогда прибыль за день будет равна:
$π=(1365-10p)(p-40).$
Эта функция является квадратичной параболой с ветвями вниз, вершина ее будет максимумом (1 балл). Она расположена посередине между нулями функции:
$p=(136,5+40)/2=88,25.$
(3 балла) Это и есть оптимальная цена.
б) Можно заметить, что по мере приближения вечера спрос на фирменное блюдо становится численно больше, а эластичность его снижается. Поскольку издержки не меняются в течение дня, это означает, что цена должна быть выше вечером. (5 баллов)
в) (12 баллов за пункт) Пусть T — длина счастливых часов,$ p_1$ — цена во время счастливых часов, $p_2$ — цена после их окончания. Тогда спрос в счастливые часы составит:
$Q_1=(132-p_1 )+(133-p_1 )+⋯+(132+(T-1)-p_1 )=T⋅(131,5+T/2-p_1 )$
(3 балла) (свернуто по формуле суммы арифметической прогрессии: количество членов, умноженное на среднее арифметическое между первым и последним). Спрос после окончания счастливых часов составит:
$Q_2=(132+T-p_2 )+⋯+(141-p_2 )=(10-T)⋅(136,5+T/2-p_2 )$. (3 балла)
Тогда функция прибыли имеет вид:
$π=T⋅(131,5+T/2-p_1 )(p_1-40)+(10-T)⋅(136,5+T/2-p_2 )(p_2-40)$. (1 балл)
Допустим, T — какая-то длина счастливых часов. Тогда цены, максимизирующие прибыль, можно найти как вершины двух парабол с ветвями вниз — первого и второго слагаемого в функции прибыли. При максимизации всей функции ни одна из этих цен не оказывает влияния на «чужую» часть прибыли, поэтому параболы можно максимизировать отдельно. (рассуждение о параболах и способе максимизации — 3 балла) Получаем:
$p_1^*=85,75+T/4$, $p_2^*= 88,25+T/4. $
Осталось подставить найденные значения в функцию прибыли:
$π=T⋅(131,5+T/2-(85,75+T/4))(p_1-40)+(10-T)⋅(136,5+T/2-(88,25+T/4))(p_2-40).$
Упрощая, получаем:
$π=T⋅(45,75+T/4)^2+(10-T)⋅(48,25+T/4)^2=5/8 (-T^2+10T+37249).$
Эта квадратичная парабола с ветвями вниз имеет максимум в точке $T^*=5$ (2 балла), это и есть оптимальная длина счастливых часов. Можно убедиться, что цена в первой части дня равна 87, а во второй части дня цена равна 89,5, то есть вечерняя цена, как и было предсказано в пункте б), выше.