Ассортимент при ограниченных финансовых возможностях

А) (15 баллов за пункт)
Прежде всего, полезно определить оптимальный выпуск фирмы при отсутствии финансовых ограничений, чтобы выяснить, являются ли финансовые возможности фирмы лимитирующим фактором.
Так как товары X и Y производятся независимо друг от друга, то фирма получит максимум прибыли в том случае, если будет максимальна прибыль от каждого продукта. Поскольку функция прибыли для каждого продукта – парабола ветвями вниз, то:
$\begin{cases} MR(X)=MC(X) \\
MR(Y)=MC(Y)
\end{cases} \rightarrow
\begin{cases} 20-2X=10 \\ 75-4Y=15
\end{cases}
\rightarrow
\begin{cases} X=5 \\ Y=15
\end{cases}$
TC(X=5,Y=15)=10∙5+5+15∙15+10=290
То есть для производства оптимального набора, максимизирующего прибыль, необходимо 290 ден. ед., а не 300. Значит, финансовые ресурсы в данном случае не являются лимитирующими.
Б) (10 балов за пункт)
В данном случае нужно маскимизировать прибыль при ограниченных финансовых возможностях:
$\begin{cases} π=(20-X)X+(75-2Y)Y-10X-5-15Y-10→max \\ TC=10X+5+15Y+10=205
\end{cases}$

$\begin{cases} π=10X-X^2+60Y-2Y^2-15→max & \\10X+15Y=190 & (1)
\end{cases}$
Из ограничения (1): X=19-1.5Y
Подставим в целевую функцию и найдем ее максимум:
$π=190-15Y-(19-1.5Y)^2+60Y-Y^2-15=(175-361)+102Y-4.25Y^2$
$dπ/dY=102-8.5Y=0$
Y=12
X=1