Борьба с наркотиками

(б) (3 балла) Теперь каждый продавец будет осознавать, что из всех произведённых наркотиков сбыть удастся лишь половину, поэтому если он захочет предложить к продаже $q_i$ единиц, он должен будет изготовить $2q_i$ единиц:
$$\pi_i(q_i) = pq_i − 25(2q_i)^2 = pq_i − 100q_i^2 → max(q_i \ge 0)$$
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $q_i = p/200$ – это предложение каждого из продавцов (1 балл за индивидуальное предложение); всего их 100, поэтому рыночное предложение будет $q_s = Nq_i = 0,5p$. В равновесии на рынке величина спроса равна величине предложения, т.е. $30 − 0,5p = 0,5p$, откуда $p = 30$, $q = 15$, $pq = 450$ (2 балла за рыночное равновесие).

(в) (3 балла) Показано, что расходы наркоманов без вмешательства больше, чем с вмешательством, – 1 балл. При таком воздействии на предложение наркотиков количество проданных веществ действительно сокращается, но при этом растёт цена. Их произведение – величина расходов потребителей – может при этом измениться в любую сторону. В частности, если спрос неэластичен (а спрос на наркотики в равновесии, вероятнее всего, действительно неэластичен), то выручка, скорее всего, вырастет, а не снизится. Соответственно, наркоманы потратят больше денег на покупку веществ, и эти деньги они, по-видимому, добудут незаконным путём. В то же время, воздействие на спрос (а не на предложение наркотиков), рассмотренное, например, в пункте (д), гарантированно снижает и объёмы потребляемых наркотиков, и оборот рынка.
Довод в защиту такой политики заключается в том, что при более высоких ценах на наркотики меньше людей будут экспериментировать и начнут употреблять наркотики, учитывая, что в будущем им придётся заплатить больше. То бишь, в краткосрочном периоде те потребители, что уже имеют наркотическую зависимость, не смогут сократить свой спрос и увеличат оборот рынка наркотиков, но в долгосрочном периоде потенциальных потребителей станет меньше, и оборот рынка снизится. Долгосрочный спрос более эластичен, чем краткосрочный.
За корректные рассуждения о том, почему в краткосрочном и долгосрочном периоде спрос реагирует по-разному, – 2 балла.

(г) (3 балла) Если доля $t$ от всех произведённых наркотиков будет конфискована, то у всех продавцов $q_{sold} = (1 − t)q_{produced}, то есть продавец, желающий продать $q_i$ единиц, должен будет изгото-вить $q_i/(1 − t)$ единиц:
$$\pi_i(q_i) = pq_i − 25(\frac{q_i}{1 − t})^2 = pq_i − \frac{25}{(1 − t)^2}q_i^2 → max(q_i \ge 0)$$
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке $q_i = p(1 − t)/250$ – это предложение каждого из продавцов; всего их 100, поэтому рыночное предложение будет $q_s = Nq_i = 2(1 − t)^2p$. В
равновесии величина спроса равна величине предложения: $30 − 0,5p = 2(1 − t)^2p$, цена составит (1 балл за индивидуальное предложение и рыночное равновесие) $p = 300,5 + 2(1 − t)^2$
Дальше необязательно находить расходы покупателей: в силу того, что функция выручки при линейном спросе – квадратная парабола, симметричная относительно середины спроса, выручка будет меньше, чем была в пункте (а), если отойти от середины линейного спроса дальше, чем в условиях равновесия пункта (а). Изначально цена была 12, а середина спроса – 30, поэтому чтобы снизить и количество употреблённых наркотиков, и оборот рынка, надо, чтобы новая цена была не менее 48:
$\frac{30}{0,5 + 2(1 − t)^2} \ge 48$ $30 \ge 24 + 96(1 − t)^2$ $96(1 − t)^2 \le 6$
$(1 − t)^2 \le 116$ $1 − t \le 14$ $t \ge 34$
Таким образом, нужно выявлять и изымать не менее 75% от всех произведённых наркотиков (2 балла за решение неравенства).

(д) Если «неохваченными» остаётся доля $z$ от всех наркоманов, то спрос составит $q_d = z(30 − 0,5p)$. Предложение $q_s = 0,5p$. В равновесии $z(30 − 0,5p) = 0,5p$, тогда равновесные цена, количество и расходы потребителей составят (1 балл за рыночное равновесие)
$p = \frac{60z}{z + 1}$ $q = \frac{30z}{z + 1}$ $pq = \frac{1800z^2}{(z + 1)^2}$
Нужно, чтобы новые расходы стали не больше, чем 288:
$\frac{1800z^2}{(z + 1)^2} \le 288$
$\frac{900z^2}{(z + 1)^2} \le 144$
$\frac{30z}{z + 1} \le 12$
$30z \le 12z + 12$
$18z \le 12$
$z \le 2/3$
Не излечившимися должны остаться не более чем 2/3 всех наркоманов, значит, Фонду придётся излечить как минимум 1/3 от всех наркоманов города Е (2 балла за решение неравенства).

(е) (3 балла) $q_i = p/50$ – это предложение каждого из продавцов; всего их $N$, поэтому рыночное предложение будет $q_s = Nq_i = 0,02Np$. В равновесии $30 − 0,5p = 0,02Np$, цена составит (1 балл за рыночное равновесие)
$$p = \frac{30}{0,5 + 0,02N}$$
Как показано в пункте (г), надо, чтобы новая цена была не менее 48:
$\frac{30}{0,5 + 0,02N} \ge 48$
$30 \ge 24 + 0,96N$
$0,96N \le 6$
$N \le 6,25$
Поскольку число продавцов может быть только целым, на рынке должны остаться максимум 6 продавцов (если будет 7, то их выручка будет больше, чем была бы без вмешательства); таким образом, нужно поймать как минимум 94 продавцов (2 балла за решение неравенства).

(ж) (2 балла) Если полиция захочет купить $d$ единиц наркотиков, то суммарный спрос (при ценах не выше 60) составит $q_d = 30 − 0,5p + d$. В равновесии $30 − 0,5p + d = 2p$, откуда равновесная цена $p = 12 + 0,4d$. Как показано в пункте (г), надо, чтобы новая цена была не менее 48:
$12 + 0,4d \ge 48$ $0,4d \ge 36$ $d \ge 90$
Значит, полиция должна будет купить не менее 90 единиц наркотиков. При цене не ниже 48 д.е. это обойдётся как минимум в 4320 д.е. (1 балл за верно найденную сумму).
Если бы полиция захотела сделать объём спроса наркоманов равным нулю, необходимо было бы скупить все предложенные наркотики по максимальной цене спроса наркоманов, которая равна 60. По этой цене продавцы готовы предложить 120 ед. наркотиков, все они должны быть выкуплены. Это потребует расходов в размере 7200 д.е. (1 балл за верно найденную сумму).