Страна Z на мировом рынке

(а) (6 баллов) Для производства $x$ иксов и $y$ игреков потребуется $4x + y$ единиц капитала; всего в стране 100 единиц капитала, поэтому должно будет выполняться условие $4x + y \le 100$. Аналогично, для производства $x$ иксов и $y$ игреков потребуется $x + 4y$ единиц труда; всего в стране 100 единиц труда, поэтому должно будет выполняться условие $x + 4y \le 100$. Стране будут доступны те комбинации иксов и игреков, которые удовлетворяют одновременно этим двум условиям (тогда для производства хватит и капитала, и труда), т.е. лежат под обеими прямыми. КПВ имеет вид:
$$\begin{equation*}
y =
\begin{cases}
25 - 0,25x & 0 \le x \le 20\\
100 - 4x & 20 \le x \le 25
\end{cases}
\end{equation*}$$
За верное нахождение ограничений по труду и капиталу ставится по 1 баллу. Верно полученная итоговая КПВ оценивается в 2 балла. Верно полученное уравнение КПВ оценивается ещё в 2 балла. Дискретное решение (построение КПВ по точкам) оценивается максимальным баллом только при условии рассмотрения всех целочисленных точек и при наличии достаточного обоснования поведения функций на всех участках. За правильный ответ (график и/или функцию КПВ) при отсутствии какого-либо обоснования построения выставляется 0 баллов. За правильный ответ (график и/или функцию КПВ) при неполном обосновании построения участник получает 2 балла. Минус 1 балл за каждую арифметическую ошибку. Минус 1 балл за ошибки в записи итоговой системы уравнений КПВ (например, отсутствуют ограничения).

(б) (10 баллов) Если страна произведёт $x$ иксов, то при выходе на мировой рынок она сможет заработать сумму $p_xx + p_yy(x)$; чем эта сумма больше, тем больше комбинаций иксов и игреков будут доступны стране для потребления:
$$ \begin{equation}
4x + 2y(x) =
\begin{cases}
4x + 2(25 − 0,25x) \\
4x + 2(100 − 4x)
\end{cases}
\end{equation} \Leftrightarrow
\begin{cases}
4x + 50 − 0,5x \\
4x + 200 − 8x
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
50 + 3,5x, & 0 \le x \le 20 \\
200 − 4x, & 20 \le x \le 25
\end{cases}$$
Первый участок возрастает, второй – убывает, поэтому точка максимума находится в изломе – при $x = 20$. То бишь, страна произведёт 20 иксов и, как следует из КПВ, 20 игреков, причём вне зависимости от того, сколько иксов и игреков она захочет потребить. При этом страна сможет заработать максимальную сумму: $p_xx + p_yy = 4 \cdot 20 + 2 \cdot 20 = 120$. Если страна потратит эту сумму на покупку иксов и игреков, то ей будут доступны все комбинации, отвечающие условию $4x + 2y \le 120$. КТВ – линия, вдоль которой это неравенство выполняется как равенство, поэтому она будет определяться как $y = 60 − 2x$.
За обоснованно полученный вывод, что страна всегда будет производить точку (20;20), при помощи максимизации выручки, сравнения альтернативных издержек или нахождения самой высокой касательной к графику КПВ участник получает 4 балла. При неполном обосновании этого утверждения участник получает 2 балла. При отсутствии какого-либо обоснования выбора точки (20;20) участник получает 0 баллов. Участник получает 2 балла при достаточном обосновании факта, что страна будет производить точку (20;20) независимо от потребностей. Ещё 2 балла участник получает за описание всех возможных комбинаций товаров, которые можно получить посредством торговли из точки (20;20). За правильно полученное уравнение КТВ также выставляется 2 балла. Минус 1 балл за каждую арифметическую ошибку, не приводящую к упрощению задачи.

(в) (4 балла) Страна предпочитает потреблять комбинации иксов и игреков, которые лежат на линии $y = 0,5x$. Уравнение КТВ имеет вид $y = 60 − 2x$, поэтому в оптимуме $60 − 2x = 0,5x$, откуда находим $x = 24$ и $y = 12$. Стало быть, страна импортирует недостающие 4 икса и экспортирует «лишние» 8 игреков.
Участник получает 2 балла за верно полученные объёмы потребления товаров. Ещё 2 балла ставится за верно полученные значения экспорта и импорта. Минус 1 балл за каждую арифметическую ошибку. Минус 1 балл, если участник неправильно использует понятия «экспорт» и «импорт».