Робин Гуд

(а) (6 баллов)
\[ x-y(x)=x-2+\sqrt{4-3x}=x-2+\sqrt{3\left( \cfrac{4}{3}-x \right)}=\]
\[=x-\cfrac{4}{3}-\cfrac{2}{3}+\sqrt{3} \sqrt{\cfrac{4}{3}-x}=-\left(\cfrac{4}{3}-x\right)-\cfrac{2}{3}+\sqrt{3} \sqrt{\cfrac{4}{3}-x}=\]
\[=-\left(\sqrt{\cfrac{4}{3}-x}\right)^2-\cfrac{2}{3}+\sqrt{3} \sqrt{\cfrac{4}{3}-x}=-t^2-\cfrac{2}{3}+\sqrt{3} t \rightarrow \max_{1/\sqrt{3} \le t \le 2/\sqrt{3}}⁡ \]
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в $t^*=\sqrt{3}/2$ (4 балла), эта точка принадлежит области определения; сам индекс Робин Гуда составит
\[ R=-t^2-\cfrac{2}{3}+\sqrt{3} t=-\left( \cfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2-\cfrac{2}{3}+\sqrt{3} \cfrac{ \sqrt{3}}{2}=\ldots= \cfrac{1}{12} \]
Таким образом, для достижения абсолютного равенства должна быть перераспределена 1/12 часть суммарного дохода (2 балла).
Нет обоснования максимума (условия второго порядка) – снижение на 1 балл. Есть арифметические ошибки, не влияющие на дальнейшее решение, – снижение на 1 балл.

(б) (7 баллов) Проведём новую кривую Лоренца – ломаную из двух звеньев – так, чтобы излом был в точке, где достигается максимум расстояния между линией абсолютного равенства и исходной кривой Лоренца. Увидим, что для двух кривых индекс Робин Гуда совпадёт. В то же время, для второй кривой Лоренца эта же величина будет являться ещё и индексом Джини. Однако новая кривая Лоренца всюду лежит не ниже исходной (то бишь ближе к линии абсолютно равномерного распределения), а значит, индекс Джини для новой кривой не может быть больше, чем для исходной, а значит, индекс Робин Гуда для исходной кривой не может быть больше, чем индекс Джини для неё же. Это справедливо для всех кривых Лоренца, а не только той, что дана в условии.
Если сначала доказано в общем случае, а затем указано, что результат верен и для данной функции, – 7 баллов. Если наоборот, то 3 балла за решение для этой функции (в том числе 1 балл – индекс Джини, 1 балл – индекс Робин Гуда, 1 балл – сравнение) и 4 балла за полностью верную цепочку рассуждений для общего случая.

(в) (7 баллов) В предыдущем пункте установлено, что могут быть такие общества, где индекс Робин Гуда и индекс Джини не совпадают (а именно индекс Робин Гуда строго меньше индекса Джини), а могут быть такие, где индексы совпадают. Тогда, если в стране A $\ R_A < G_A$ , а в стране B $\ R_B = G_B$ , то можно подобрать эти индексы так, что $\ R_A < R_B=G_B < G_A$ ; отсюда ясно, что по индексу Робин Гуда неравенство доходов слабее в стране A, тогда как по индексу Джини неравенство слабее в стране B.
Необязательно приводить в решении конкретные примеры кривых Лоренца, достаточно обойтись этими выкладками (идея о том, что для общества с любым распределением доходов можно подобрать такое общество с двумя однородными группами населения, что индексы Робин Гуда и Джини будут утверждать обратное).
Можно было привести контрпример. Например, для кривой Лоренца $y=x^2$ индекс Робин Гуда равен 0,25, а индекс Джини равен 1/3. В обществе, где есть две группы населения (40% бедных и 60% богатых), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных 10% совокупного дохода, а у богатых 90%, оба индекса будут равны 0,3. По индексу Робин Гуда неравенство сильнее во втором обществе (0,25<0,3); по индексу Джини неравенство сильнее в первом обществе (1/3>0,3).
Вариант контрпримера для тех, кто не изучал интегрирования. Рассмотрим общество с тремя группами населения (бедные – 50%, средние – 30%, богатые – 20%), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных 20% совокупного дохода, у средних – 30%, а у богатых – 50%. Индекс Робин Гуда будет равен 0,3, а индекс Джини будет равен 0,39. В обществе, где есть две группы населения (60% бедных и 40% богатых), внутри которых доходы распределены равномерно, при этом у бедных 25% совокупного дохода, а у богатых 75%, оба индекса будут равны 0,35. По индексу Робин Гуда неравенство сильнее во втором обществе (0,3<0,35); по индексу Джини неравенство сильнее в первом обществе (0,39>0,35).
За полностью верную цепочку рассуждений или полностью обоснованный контрпример – 7 баллов. Если рассуждения в целом верные, но есть пропуски в доказательствах, ставятся неполные баллы в зависимости от размера «пропуска».