Фактор Z

$$\max_{z \geq 0} [wz- TC(z)]=\max_{z \geq 0} [wz-z^2]$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $z=w/2$.
Итак, функция предложения фирмы В имеет вид $z^{s}(w)=w/2$.

Тогда фирма А будет выбирать цену, которая приносит ей максимальную прибыль с учетом данной функции предложения поставщика фактора:

$$\max_{w\geq 0} (pF(z^s(w))-wz^s(w))=\max_{w\geq 0} (12w-0.25w^2-0.5w^2)=\max_{w\geq 0} (12w-0.75w^2)$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $w=12/1.5=8$.
Подставляя это значение в функцию предложения, находим $z^s(8)=8/2=4$.

(б) Фирма B выбирает цену, принимая во внимание решение фирмы A, т.е. количество, которое фирма А захочет купить при данной цене. Подобная зависимость между ценой и количеством описывается функцией спроса. Найдем функцию спроса фирмы А, решив ее задачу максимизации прибыли:
$$\max_{z\geq 0} pF(z)-wz$$
Заметим, что целевая функция представима вогнутой функцией (парабола с ветвями вниз), а потому условие первого порядка будет необходимым и достаточным. Выпишем условие первого порядка $24-2z=w$ или $z^d(w)=12-0.5w$. Заметим, что полученное условие справедливо при $w \leq 24$. Если $w > 24$, то величина спроса на фактор будет равна нулю.

Итак, выбирая цену фактора, фирма B будет решать следующую задачу
$$\max_{w\geq 0} [wz^d (w) - TC (z^d (w))]$$
Задача фирмы примет вид $\max_{w\geq 0} (w(12-0.5w)-(12-0.5w)^2)$.

Условие первого порядка: $12-w+12-0.5w=0$.
Преобразовав, находим $24=1.5w$ или $w=16$. В соответствии с функией спроса на фактор $z^d(16)=12-0.5\times 16=4$.
(в) Задача интегрированной фирмы примет вид:
$$\max_{z\geq 0} (pF(z)-TC(z))= \max_{z\geq 0} (24z-z^2-z^2)$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $z=24/4=6$.
В результате прибыль интегрированной фирмы составит $\pi ^c =(24z-2z^2)=6(24-12)=72$.
Суммарная прибыль двух фирм в случаях (а) и (б) будет одинакова, поскольку совпало равновесное количество фактора $\pi ^a=\pi ^b=(24-2z^2)=4(24-8)=64$, что меньше прибыли, полученной интегрированной фирмой.

Данный результат несложно обобщить.
Суммарная прибыль двух фирм: $(pF(z)-wz)+(wz-TC(z))=(pF(z)-TC(z))$.
Поскольку интегрированная фирма выбирает уровень занятости фактора, максимизируя это выражение, то она всегда может выбрать уровень занятости фактора, соответствующий выбору в случаях (а) или (б), то есть прибыль интегрированной фирмы всегда не меньше, чем прибыль в случаях (а) и (б).
Более того, интегрированная фирма может (в некоторых случаях) выбрать другой уровень занятости, который приносит более высокую прибыль по сравнению со случаями (а) и (б).
(г) Поскольку желаемый уровень занятости превышает фактический (выбираемый в пункте (а)), то для увеличения уровня занятости будем субсидировать использование фактора производства, выплачивая потребителю этого фактора субсидию со ставкой за каждую единицу фактора . В итоге задача фирмы А примет вид
$$\max_{w\geq 0} (pF(z^s (w))-(w-s)z^s(w))=\max_{w\geq 0} (12w-0.25 w^2-0.5w(w-s))=\max_{w\geq 0} ((12+0.5s)w-0.75w^2)$$

Функция достигает максимального значения в вершине параболы, то есть $w=(12+0.5s)/1.5=8+s/3$.
Подставляя в функцию предложения, находим $z^s(8+s/3)=4+s/6=6$ при $s=12$.
Результат об инвариантности получателя субсидии - 2 балла.
Заметим, что не имеет значения, будет ли данную субсидию получать покупатель или поставщик фактора производства. Обоснование.