Григорий Хацевич

Фирма владеет тремя заводами. Их функции издержек изображены на рисунке. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между тремя заводами $(Q=q_1+q_2+q_3)$ так, чтобы минимизировать суммарные издержки. Изобразите на этом же рисунке функцию суммарных издержек $TC(Q)$ как можно точнее и обоснуйте своё решение.

У фирмы есть несколько заводов, каждый со своей функцией издержек $TC_i(q_i)$. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
На каждом из заводов $TC_i(0)=0$, функция $TC_i$ нестрого возрастает, а функция средних издержек $AC_i$ строго убывает.
Докажите или опровергните: какой бы ни был Q, фирме будет выгодно произвести весь выпуск целиком на одном заводе.

У фирмы есть несколько заводов, каждый со своей функцией издержек $TC_i(q_i)$. Когда она хочет произвести выпуск Q, она распределяет его между заводами так, чтобы минимизировать суммарные издержки.
На каждом из заводов функция $TC_i$ неотрицательна, а функция предельных издержек неотрицательна и строго убывает.
Докажите или опровергните: какой бы ни был Q, фирме будет выгодно произвести весь выпуск целиком на одном заводе.

Фирма владеет двумя заводами; для каждого из них дана функция издержек производства на нём: $TC_{1} $ и $TC_{2} $. Когда фирма хочет произвести $Q$ единиц продукции, она распределяет производство между двумя заводами ($Q=q_1+q_2$) так, чтобы минимизировать суммарные издержки.

Найдите функцию суммарных издержек $TC(Q)$ для каждого из следующих случаев (любым удобным способом):
a. $TC_1(q)=5q$, $TC_2(q)=3q$
b. $TC_1 (q)=q^{2} $, $TC_2 (q)=2q^{2} $
c. $TC_1 (q)=\sqrt{q} $, $TC_2 (q)=2\sqrt{q} $
d. $TC_1 (q)=q^{2} $, $TC_2 (q)=10q$

Фирма владеет двумя заводами с функциями издержек $TC_1(q) = q^2$ и $TC_2(q) = q^2$. Когда фирма хочет произвести Q единиц продукции, она распределяет выпуск между двумя заводами ($Q = q_1 + q_2$) так, чтобы минимизировать суммарные издержки. Найдите функцию суммарных издержек $TC(Q)$.
Решите эту задачу пятью способами:

Известно, что при постоянных ценах факторов производства из того или иного вида глобальной отдачи от масштаба производственной функции $f$ следует глобальная монотонность средних издержек. А именно:
постоянная отдача от масштаба => AC постоянны
возрастающая отдача от масштаба => AC убывают
убывающая отдача от масштаба => AC возрастают

Рассмотрим производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Цены всех факторов производства $w_1,...,w_n$ фиксированы. Докажите, что если функция $f$ обладает постоянной отдачей от масштаба, то функция средних издержек является константой.

Рассмотрим непрерывную производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Цены всех факторов производства $w_1,...,w_n$ фиксированы. Докажите, что если функция $f$ обладает убывающей отдачей от масштаба, то функция средних издержек возрастает.

Рассмотрим непрерывную производственную функцию нескольких переменных $f(x_1,...,x_n)$. Она показывает максимальное количество продукта, которое можно получить, имея данный набор факторов производства $\vec x=(x_1,...,x_n)$. Количества всех факторов и выпуска неотрицательны. Цены всех факторов $w_1,...,w_n$ фиксированы.

Докажите, что если функция $f$ обладает возрастающей отдачей от масштаба, то функция средних издержек убывает.

Для справки:

Приведите пример разрывной (т.е. не непрерывной) производственной функции, обладающей возрастающей отдачей от масштаба, или докажите, что такой функции не существует.