Из постоянной отдачи от масштаба следует постоянство AC

Способ 1

Рассмотрим произвольные $Q_2 > Q_1 > 0$ и докажем, что $AC(Q_1)=AC(Q_2)$.
Обозначим $x^*(Q_1)$ набор факторов, минимизирующий издержки при выпуске $Q_1$, а $x^*(Q_2)$ — при выпуске $Q_2$. Рассмотрим $t = \frac{Q_2}{Q_1}$.

В силу постоянной отдачи от масштаба:
$f(t x^*(Q_1)) = t f(x^*(Q_1)) = t Q_1 = Q_2$
То есть $t x^*(Q_1)$ является способом получить $Q_2$, значит стоимость этого способа должна быть не меньше, чем $TC(Q_2)$. В силу постоянства цен факторов стоимость этого способа равна $t\cdot TC(Q_1)$. Получаем:
$TC(Q_2) \le t\cdot TC(Q_1)$

Аналогично для $x^*(Q_2)$:
В силу постоянной отдачи от масштаба:
$f(\frac{x^*(Q_2)}{t}) = \frac{1}{t} f(x^*(Q_2)) = \frac{Q_2}{t} = Q_1$
То есть $\frac{x^*(Q_2)}{t}$ является способом получить $Q_1$, значит стоимость этого способа должна быть не меньше, чем $TC(Q_1)$. В силу постоянства цен факторов стоимость этого способа равна $\frac{TC(Q_2)}{t}$. Получаем:
$TC(Q_1) \le \frac{TC(Q_2)}{t}$

Соединив два полученных неравенства, имеем:
$TC(Q_2) \le t \cdot TC(Q_1) \le TC(Q_2)$, откуда следует
$TC(Q_2) = t \cdot TC(Q_1)$, то есть
$AC(Q_2) = AC(Q_1)$, что и требовалось доказать.

Способ 2

$TC(Q)=\min\limits_{\vec x \ge 0}\{\vec w\cdot \vec x \mid f(\vec x)\ge Q\}$
(Где $\vec w\cdot \vec x = w_1x_1+...+w_nx_n$ — скалярное произведение векторов $\vec w$ и $\vec x$, то есть сумма произведений соответствующих координат, или, в данном случае, стоимость набора факторов $\vec x$.)

Возьмём произвольный $Q>0$. (Случай $Q=0$ нас не интересует, т.к. средние издержки определены только при положительных Q.) Сделаем замену переменной в задаче минимизации: $\vec z = \frac {\vec x}{Q} $, то есть через $\vec z$ будем обозначать набор факторов, каждый из которых в Q раз меньше, чем в наборе $\vec x$. Чтобы новая задача минимизации получилась эквивалентой старой, нужно переписать в терминах нового набора переменных все компоненты задачи: целевую функцию, множество возможных значений переменных выбора, все ограничения.
Между множеством всех $\vec z $ и множеством всех $\vec x$ — взаимно-однозначное соответствие, поэтому «минимизировать по множеству всех возможных $\vec x$» — то же самое, что «минимизировать по множеству всех возможных $\vec z$». При этом $\vec x\ge 0$ эквивалентно $\vec z\ge 0$.

Таким образом получаем: $TC(Q)=$
$=\min\limits_{\vec x \ge 0}\{\vec w\cdot \vec x \mid f(\vec x)\ge Q\}=$
$=\min\limits_{\vec z \ge 0}\{\vec w\cdot (Q\vec z) \mid f(Q \vec z)\ge Q\} =$
$=\min\limits_{\vec z \ge 0}\{Q \cdot (\vec w\cdot \vec z) \mid Q f( \vec z)\ge Q\}= \dots$
Пояснение: скаляр $Q$ выносится за скобки скалярного произведения;
а в ограничении мы пользуемся постоянной отдачей от масштаба функции $f$.
$=\min\limits_{\vec z \ge 0}\{Q \cdot (\vec w\cdot \vec z) \mid f( \vec z)\ge 1\}=$
$=Q \cdot \min\limits_{\vec z \ge 0}\{\vec w\cdot \vec z \mid f( \vec z)\ge 1\}= \dots$
Пояснение: множитель целевой функции в виде константы не влияет на оптимальное решение, поэтому он просто домножится на её оптимальное значение, и значит его можно вынести за оператор $\min$.
$=Q\cdot TC(1)$
То есть $AC(Q)=TC(1)=const$, что и требовалось доказать.