Из убывающей отдачи от масштаба следует возрастание AC

Рассмотрим произвольные $Q_1>0,Q_2>Q_1$ и докажем, что $AC(Q_2) > AC(Q_1)$.
(Это эквивалентно тому, что издержки вырастут в большее число раз, чем выпуск: $\frac{TC(Q_2)}{TC(Q_1)} > \frac{Q_2}{Q_1}$.)
Обозначим $t=\frac{Q_2}{Q_1}$.
Обозначим $x^*$ набор факторов, минимизирующий издержки при $Q_2$, и попробуем уменьшить каждый из факторов ровно в t раз. Тогда, в силу постоянства цен, расходы на покупку набора факторов тоже уменьшатся в t раз:
$w_1\cdot\frac{x^*_1}{t}+...+w_n\cdot\frac{x^*_n}{t} = \frac{1}{t}(w_1 x^*_1+...+w_n x^*_n)=\frac{TC(Q_2)}{t} $
При этом, в силу убывающей отдачи от масштаба, уменьшение всех факторов в $t>1$ раз уменьшает выпуск меньше чем в t раз (ведь иначе обратный переход противоречил бы определению убывающей отдачи от масштаба), то есть новый выпуск превысит $Q_1$. Получается, мы нашли один из способов получить $Q_1$ (предполагаем, что лишнее количество произведённого продукта можно выбросить, чтобы таким образом получить ровно $Q_1$). Значит, $TC(Q_1)$ должны быть не больше, чем стоимость этого способа (поскольку по определению функции TC, $TC(Q_1)$ — это самый дешёвый способ получить $Q_1$):
$TC(Q_1) \le \frac{TC(Q_2)}{t}$, то есть $AC(Q_1) \le AC(Q_2)$.

Тем самым мы пока что доказали, что AC нестрого возрастают. Теперь воспользуемся непрерывностью функции f. Поскольку $f(\frac{x^*}{t}) > Q_1$, то в силу непрерывности f мы можем подобрать такой $t_1 > t$, достаточно близкий к $t$, что всё ещё будет выполняться $f(\frac{x^*}{t_1}) > Q_1$, то есть покупка набора факторов $\frac{x^*}{t_1}$ — это тоже будет способ получить $Q_1$ (с учётом того, что лишнее количество продукта можно выбросить), а значит, стоимость этого набора должна быть не меньше $TC(Q_1)$. Этот набор стоит $\frac{TC(Q_2)}{t_1}$. Получаем:
$TC(Q_1) \le \frac{TC(Q_2)}{t_1} < \frac{TC(Q_2)}{t}$, откуда получаем $AC(Q_1) < AC(Q_2)$, что и требовалось доказать.