Из возрастающей отдачи от масштаба следует убывание AC

Рассмотрим произвольные $Q_1>0,Q_2>Q_1$ и докажем, что $AC(Q_2) < AC(Q_1)$.
(Это эквивалентно тому, что издержки вырастут в меньшее число раз, чем выпуск: $\frac{TC(Q_2)}{TC(Q_1)}< \frac{Q_2}{Q_1}$.)
Обозначим $t=\frac{Q_2}{Q_1}$.
Обозначим $x^*$ набор факторов, минимизирующий издержки при $Q_1$, и попробуем увеличить каждый из факторов ровно в t раз. Тогда, в силу постоянства цен, расходы на покупку набора факторов тоже вырастут в t раз:
$w_1\cdot tx^*_1+...+w_n \cdot tx^*_n = t(w_1 x^*_1+...+w_n x^*_n)=t\cdot TC(Q_1)$
При этом, в силу возрастающей отдачи от масштаба, выпуск вырастет больше чем в t раз, то есть превысит $Q_2$. Получается, мы нашли один из способов получить не меньше, чем $Q_2$, а значит, в силу свойства свободного выбрасывания, это является и способом получить ровно $Q_2$. Значит, $TC(Q_2)$ должны быть не больше, чем стоимость этого способа (поскольку по определению функции TC, $TC(Q_2)$ — это самый дешёвый способ получить $Q_2$):
$TC(Q_2) \le t \cdot TC(Q_1)$, то есть $AC(Q_2) \le AC(Q_1)$.

Тем самым мы пока что доказали, что AC нестрого убывают. Теперь воспользуемся непрерывностью функции f. Поскольку $f(t x^*) > Q_2$, то в силу непрерывности f мы можем подобрать такой $t_1 < t$, достаточно близкий к $t$, что всё ещё будет выполняться $f(t_1 x^*) > Q_2$, то есть покупка набора факторов $t_1 x^*$ — это тоже будет способ получить не меньше, чем $Q_2$, а значит, стоимость этого набора должна быть не меньше $TC(Q_2)$. Этот набор стоит $t_1\cdot TC(Q_1)$. Получаем:
$TC(Q_2) \le t_1\cdot TC(Q_1) < t\cdot TC(Q_1)$, откуда получаем $AC(Q_2) < AC(Q_1)$, что и требовалось доказать.