микроэкономика

Василий производит товар Икс по технологии $q(l)$, где $q$ — выпуск, а $l$ - единственный фактор производства — труд. Производственная функция возрастает и обладает убывающей предельной производительностью.

Предприниматель реализует товар на конкурентном рынке. Назовем «ценами в экономике» пару $(p,w)$, состоящую из цены продукции и заработной платы.

а) Докажите, что при одновременном увеличении всех цен в экономике в $k>1$ раз прибыль фирмы также увеличивается ровно в $k$ раз.

На рынке некоторого товара действует фирма-монополист. Спрос на её продукцию описывается функцией $Q^d=100-P$, а издержки производства имеют вид $TC(Q)=Q^2$.

а) Определите выпуск, цену и прибыль монополиста, если государство не вмешивается в работу рынка.

б) Государство решило поддержать производство данного товара и ввело потоварную субсидию: за каждую произведённую единицу продукции монополист получает \(s\) денежных единиц из бюджета.

1) Найдите оптимальный выпуск монополиста как функцию ставки субсидии \(q(s)\).

Прибыль фирмы описывается как:

$$\pi(q)=\sqrt{a-q}+\sqrt{b+q}$$

Значения $a, b>0$ не известны. Известно, что при выпусках $q=10$ и $q=20$ прибыль фирмы совпадает. Найдите выпуск, максимизирующий прибыль.

Антону необходим кредит в размере 13 963 950 рублей, чтобы оплатить обучение.

Банк предлагает Антону три варианта кредита, каждый из которых должен быть погашен за 6 лет. Платежи производятся раз в год после начисления процентов, которые также начисляются раз в год. Условия кредитования следующие:

На некотором рынке в разные годы функции спроса и предложения задаются следующим образом.

В 2025 году:
\[
P_S = 25 + \sqrt[25]{Q}, \qquad P_D = \frac{25}{Q}.
\]

В 2026 году:
\[
P_S = 26 + \sqrt[26]{Q}, \qquad P_D = \frac{26}{Q}.
\]

Предполагая, что на рынке устанавливается равновесие, определите, на сколько процентов изменилась выручка продавцов в 2026 году по сравнению с 2025 годом.

В IT-стартапе есть три уровня принятия решений:

1. Главный инвестор, который выбирает параметр $\theta\in[0,1]$ — долю выручки проекта, которая будет выплачиваться техническому директору в виде бонуса (остальная часть остаётся инвестору). Назначая долю $\theta$ инвестор несёт административные расходы $\kappa\theta^2$, $\kappa > 0$

2. Технический директор выбирает уровень организационных усилий $e_c\geq 0$ . Его собственные издержки на осуществление такого уровня усилий равны $\frac{1}{4} e_c^4$

В стране А товары $x$ и $y$ потребляются в комплектах, в каждом из которых содержится $1$ единица $y$ вместе с $k>0$ единиц $x$. В стране есть 3 региона, их КПВ:

$$y_1 = 25-x_1^2$$
$$y_2 = 50-0.5x_2^2$$
$$y_3 = 42-6x_3$$

Правительство страны выбирает производство в регионах так, чтобы максимизировать суммарное потребление $x$ и $y$ в приведенной выше пропорции. Известно, что сейчас в оптимуме ни один из регионов не имеет своей специализации в производстве, то есть в каждом регионе одновременно производятся ненулевые количества $x$ и $y$.

Этап 1. Каждый розничный торговец одновременно и независимо принимает решение: инвестировать ли в рекламную кампанию.
Если хотя бы один из них оплачивает рекламу, рыночный спрос на товар становится высоким:
\[
Q = 40 - P.
\]

На рынке некоторого товара функция спроса строго убывает, а функция предложения строго возрастает. Государство вводит потоварный налог на каждую единицу товара. Может ли случиться так, что при любой положительной ставке налога налоговые сборы государства оказываются одинаковыми (не зависят от ставки)? Если да, приведите пример таких функций спроса и предложения и докажите, что они удовлетворяют условию задачи. Если нет, строго докажите, что это невозможно.

На рынке некоторого товара действуют \(100\) потребителей и \(100\) производителей.

Спрос потребителя с номером \(i\), где \(i=1,2,\dots,100\), задаётся функцией
\[
q_i^d=i-p.
\]

Предложение производителя с номером \(j\), где \(j=1,2,\dots,100\), задаётся функцией
\[
q_j^s=p-\frac{j}{2}.
\]

Найдите равновесную цену и равновесный объём на данном рынке. Сколько покупателей и производителей покупают товар в равновесии?