Торговля квотами

Ограничение на выброс вредных веществ означает, что $q_i\le 3\cdot 2 = 6$. Получается, что заводы с номерами 1, 2 и 3 смогут произвести свой оптимальный выпуск, а остальным придется сократить его до 6 единиц. В этом случае суммарные выбросы составят
$$(2+4+ 6 + 6\cdot 12)/2=42.$$

Получается, что введение квот позволяет сократить выбросы на 78 единиц.

б). Прибыль завода $i$ равна
$$\pi_i(q_i)=iq_i-(q_i^2)/4+t(3-q_i/2).$$
Последнее слагаемое "--- выручка или затраты, связанные с торговлей квотами. Если завод производит менее 6 единиц продукции, то $q_i/2\lt 3$, в равновесии завод продаст излишнюю квоту и последнее слагаемое будет положительно. Если, напротив, завод производит более 6 единиц продукции, то $q_i/2>3$, заводу нужно докупать квоты и последнее слагаемое отрицательно.

Прибыль - квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина $q_i=2i-t$. Это будет оптимальный выпуск только для тех заводов, номер которых в равновесии будет больше, чем половина цены квоты; у остальных $q_i=0$, так как их функции прибыли являются убывающими. Таким образом, для каждого завода спрос на дополнительные квоты будет равен
$$z_i=q_i/2-3=
\begin{cases}
i-t/2-3,& i>t/2;\\
-3,& i\le t/2.
\end{cases}$$
Если эта величина отрицательна, то завод предъявляет предложение квот, а если величина положительна, то завод предъявляет спрос на квоты. В равновесии сумма всех $z_i$ должна равняться нулю, чтобы рынок квот был сбалансирован. Пусть есть $m$ заводов, не производящих ничего и продающих всю квоту в размере 3 ед. (это заводы с номерами $1, \ldots, m$), тогда есть $15-m$ заводов, которые производят ненулевой выпуск (это заводы с номерами $m+1,
\ldots,15)$. Значит, на рынке квот
$$-3m+(15-m)(16+m)/2-(15-m)t/2-3(15-m)=0.$$
Преобразовав, получим
$$t/2=\frac{16+m}{2}-\frac{45}{15-m}.$$
При этом, чтобы заводы с первого по $m$-тый производили 0, а остальные "--- положительный выпуск, в силу выражения для $z_i$ должно выполняться $m\le t/2\lt m+1$. Подставляя выражение для $t/2$ и решая левое неравенство, получаем $m\le 6$ (из неравества $m^2-31m+150\ge 0$). Решая правое неравенство, получаем $m>5$ (из неравенства $m^2-29m+120\lt 0$). Итак, получаем, что $m\in(5;6]$. Поскольку $m$ - натуральное число, $m=6$.

Значит, в равновесии $t=2m=12$. Таким образом, первые 6 заводов (номера 1-6) ничего не производят (а продают свои квоты), и их выбросы равны нулю. Выбросы заводов с 7-го по 15-ый равны $1, 2, \ldots, 9$ единиц соответственно. Сумма выбросов равна 45.

в) Плюсы торгуемых квот:

1. Стимулы действуют постоянно. Стимулы сокращать выбросы при использовании торгуемых разрешений остаются независимо от уже достигнутого уровня выбросов, в отличие от применения инструмента жестких квот, когда достаточно сократить выбросы до заданного потолка, а дальше сокращать нет смысла.
2. Сокращения распределяются эффективно. С точки зрения общества важен не только суммарный объем выбросов но и то, как он распределяется между заводами. Нужно, чтобы более ценные для общества блага производились в большем объеме, чем менее ценные. Рынок квот позволяет учитывать информацию об относительной ценности и редкости благ через спрос фирм на квоты.