Цена и качество

а) Прибыль фирмы равна $\pi=Q(p)(p-AC)=\alpha(48-2p)(p-4\alpha)$. Промаксимизируем прибыль по цене при фиксированном качестве $\alpha$: относительно цены функция прибыли квадратичная, ветви параболы направлены вниз, а значит, оптимальная цена соответствует вершине, которая находится посередине между корнями: $p^\star=(24+4\alpha)/2=12+2\alpha$. Значит, при данном качестве $\alpha$ максимальная прибыль фирмы равна $\pi(\alpha)=8\alpha(6-\alpha)^2$.

Докажем, что функция $\pi(\alpha)$ максимальна при $\alpha=2$. $\pi(\alpha)=8\alpha(6-\alpha)^2=4\cdot 2\alpha(6-\alpha)(6-\alpha)$. Заметим, что в силу неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом $2\alpha(6-\alpha)(6-\alpha) \le \left(\frac{2\alpha+(6-\alpha)+(6-\alpha)}{3}\right)^3=64$, а значит, $8\alpha(6-\alpha)^2\le 256$. При этом при $\alpha=2$ верно $8\alpha(6-\alpha)^2=256$. Значит, данная функция действительно максимальна при $\alpha=2$.

Тот же результат можно получить и с помощью производной: $\pi'(\alpha)=8((6-\alpha)^2-2(6-\alpha)\alpha)=8(6-\alpha)(6-3\alpha)$. Производная равна нулю при $\alpha=2$ и $\alpha=6$, но она меняет знак с плюса на минус только при $\alpha=2$, так что точкой локального максимума является $\alpha=2$. Поскольку на концах отрезка функция равна нулю, а при $\alpha=2$ она положительна, в этой точке действительно достигается максимум функции прибыли на отрезке $[0;6]$.

б). При качестве $\alpha=2$ функция прибыли фирмы, как функция от цены, имеет вид $\pi(p)=4(24-p)(p-8)$. При этом если государство назначит цену ниже 8, фирма не будет производить, а если цена будет в точности 8, фирма будет безразлична между всеми объемами $[0;32]$, и произведет максимальный объем по условию.

Таким образом, общественное благосостояние, как функция от цены, будет иметь вид $W(p)=2\cdot (24-p)^2+4(24-p)(p-8)=(24-p)(48-2p+4p-32)=(24-p)(16+2p)$ при $p\ge 8$, и $W(p)=0$ в противном случае. При $p\ge 8$ это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, вершина находится в точке $p^\star=(24+(-8))/2=8$, при этом благосостояние положительно, так что это действительно точка максимума среди всех цен $p\ge 0$.

в). При директивной цене $p$ прибыль фирмы есть $\alpha(48-2p)(p-4\alpha)$. Фирма будет максимизировать эту функцию по качеству $\alpha\in[0;p/4]$. (При более высоком качестве фирма не захочет производить. Поскольку имеет смысл рассматривать только $p<24$, ограничение $\alpha\le 6$ выполнено.) Относительно $\alpha$ эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз. Оптимум находится в вершине $\alpha^\star=p/8$.

Общественное благосостояние равно $\alpha(24-p)^2+\alpha(48-2p)(p-4\alpha)$. Подставляя функцию реакции фирмы $\alpha^\star=p/8$ и упрощая, получаем, что благосостояние равно $p/8(24-p)(24-p+2p-8p/8)=3p(24-p)$. Эта функция квадратичная, ветви параболы направлены вниз, значит оптимальная цена равна 12.