Налог в модели межвременного выбора

Задача

Московская олимпиада (МОШ) — 2019

9 класс

потребитель и спрос

налоги и субсидии

Можно решить без знания производной

Голосов еще нет

17.03.2019, 15:53 (Рита Голуб)
27.04.2019, 12:39

(1)

Умар Исрафилов

Версия для печати

Только условие

Условие с решением и ответом

Только решение и ответ

Рассмотрите индивида, планирующего свою жизнь на два периода вперёд. В первом периоде доход индивида составит 120 д. е., во втором периоде — 210 д. е. Ставка процента постоянна и равна 25 % — по этой ставке можно взять кредит или открыть депозит. В конце второго периода индивид не желает иметь ни долгов, ни накоплений.

Пусть предпочтения индивида устроены таким образом, что в оптимуме ему хотелось бы иметь одинаковое потребление в периодах 1 и 2 (в таких случаях говорят про сглаживание потребления). Это можно формализовать, например, так: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его суммарное удовольствие от потребления в двух периодах будет определяться как $u = \min\left\lbrace C_1;\;C_2\right\rbrace $. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Предположим, что государство вводит налог на потребление в первом периоде по ставке $t\cdot 100\%$. Это значит, что если индивид желает в первом периоде иметь потребление на уровне $C_1$, то он должен будет потратить не $C_1$, как прежде, а больше, а именно величину $C_1/(1-t)$, из которой доля $t$ будет уплачена в качестве налога. Пусть государство хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Пусть теперь предпочтения индивида устроены иначе: если в периодах 1 и 2 объёмы потребления составят $C_1$ и $C_2$, то его удовольствие будет определяться как $u = C_1C_2$. Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?
Предположим теперь, что государство вводит в точности такой же налог, какой в пункте 2, и так же хочет собрать с данного индивида в виде налогов сумму 90 д. е. По какой ставке нужно ввести налог? Сколько индивид будет потреблять в каждом периоде? Будет ли он сберегать или кредитоваться? Сколько составит величина сбережений или кредита?

Решение и ответ

Оптимум определяется решением системы уравнений $1.25 \cdot 120 + 210 = 1.25C_1+C_2$ и $C_1 = C_2$. Решив линейную систему, получим $C_1=C_2 = 160$, т. е. индивид в первом периоде берёт кредит в размере $C_1-y_1 = 40$.
Оптимум определяется решением системы уравнений $1.25 \cdot+ 210 = 1.25\frac{C_1}{1-t} +C_2$ и $C_1 = C_2$. Решив линейную систему, получим $C_1 = C_2 = \frac{360(1-t)}{2.25-t}$. Значит, налоговые сборы составят
$T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t}\frac{360(1-t)}{2.25-t} = \frac{360t}{2.25-t} = 90$.
По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим $t = 0.45$, т.е. налог будет введён по ставке 45%. Значит, $C_1 = C_2 = 110$. В первом периоде индивид потребляет 110 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере $C_1+T-y_1 = 80$.
Индивид решает задачу: $u=C_1C_2 = C_1(360 - 1.25C_1) \rightarrow \max_{C_1}$. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке $C_1 = 144$, тогда $C_2 = 180$. Значит, индивид в первом периоде берёт кредит в размере $C_1-y_1 = 24$.
Индивид решает задачу: $u = C_1C_2 = C_1\left( 360 - 1.25\frac{C_1}{1-t}\right) \rightarrow \max_{C_1} $. Квадратная парабола с ветвями вниз, максимум достигается в точке $C_1 = 144(1-t)$. Значит, налоговые сборы составят $T = \frac{tC_1}{1-t} = \frac{t}{1-t}144(1-t) = 144t = 90$. По условию сборы должны равняться 90. Решив последнее уравнение, получим $t = 0.625$, т.е. налог будет введён по ставке 62,5%. Значит, потребление составит $C_1 = 54$ и $C_2 = 180$. В первом периоде индивид потребляет 54 и уплачивает налоги на сумму 90, значит, он берёт кредит в размере $C_1+T-y_1 = 24$.

Решение в пунктах 2 и 4 некорректное, так как С зависит от t в оптимизационной задаче.
В частности, это привело к неверному ответу в пункте 4. Легко проверить :) что при ставке t=10/21 кредит в размере 69 приводит к налоговым сборам 90, С1=99, С2=123,75.

Серажутдин Магомедов ↑

16.03.2020 00:10 ссылка

Во 2 и 4 пункте $С_1$ не может не зависеть от t, оно "вшито" в $С_1$, как и показано в решении.
Также твой пример не работает. Если ставка будет $t=10/21$ , то он не выберет $С_1=99$ и $С_2=123.75$, так как при $С_1=1584/21$ и $С_2=180$ , которые ему доступны, он получит полезность больше (12251.25 против 13577), и тогда налоговые сборы не будут равны 90, поэтому такой ситуации сложиться не может.

Все задачи этой олимпиады

10 класс

Задача	Баллы
GDP — это не всё	20
Балансировка бюджета и поддержка населения	20
Дисбалансы в мировой экономике	20
Максимальный профицит	20
Прорыв и стабильность	20

11 класс

Задача	Баллы
Балансировка бюджета и поддержка населения	20
Дисбалансы в мировой экономике	20
Максимальный профицит	20
Политика отрицательных процентных ставок	20
Прорыв и стабильность	20

5 класс

Задача	Баллы
Бесплатный сыр? — 5 класс	20
Время на задачки — 5 класс	20
Разве можно списывать?! — 5 класс	20
Справедливые пельмени вскладчину	20
Ягодный пирог — 5 класс	20

6 класс

Задача	Баллы
Бесплатный сыр? — 6 класс	20
Время на задачки — 6 класс	20
Разве можно списывать?! — 6-7 класс	20
Справедливые пельмени вскладчину	20
Ягодный пирог — 6 класс	20

7 класс

Задача	Баллы
Время составлять задачки	20
Два зайца против курения	20
Разве можно списывать?! — 6-7 класс	20
Страховая асимметрия?	20
Ягодный пирог — 7 класс	20

8 класс

Задача	Баллы
Государство и дороги	20
Далёкая страна	20
Инвестирование	20
Прогрессивная или пропорциональная?	20
Стройка	20

9 класс

Задача	Баллы
Государство и дороги	20
Далёкая страна	20
Налог в модели межвременного выбора	20
Прогрессивная или пропорциональная?	20
Стройка	20

В олимпиадах

Раздел

Баллы

Темы

Свойства

Сложность

Комментарии

Все задачи этой олимпиады