Волшебное зелье

Удобно информацию из условия записать в таблицу:

Так как число волшебников в любом случае может быть только целым числом, то $M$ можно представить как $20\cdot n$, или $4\cdot5\cdot n$, где $n$ – это натуральное число. В этом случае $X_0$, $Y_0$ и $Z_0$ будут целыми числами.

Число оставшихся в городе волшебников с начальным образованием $Z_2$ тоже должно быть целым числом, а это значит, что $n$ следует представить как $4\cdot k$, где $k$ – это натуральное число. Получаем, что $M=4\cdot5\cdot4\cdot k$, а $Z_2=5\cdot k$. А так как $Z_1$ в 3 раза больше $Z_2$, то получаем, что $Z_1=3\cdot5\cdot k$.

Теперь мы можем выразить $X_1$. Итак, $X_1=5\cdot5\cdot k$, т.е. оно тоже целое.

Конечно, $Y_1$ тоже должно быть целым, следовательно, мы должны представить $k$, как $2\cdot a$, где $a$ – это тоже натуральное число.

Теперь рассчитаем $X_2$. В наших обозначениях $X_0=9\cdot4\cdot2\cdot a$. $X_1=5\cdot5\cdot2\cdot a$. Получаем $X_2=a\cdot(9\cdot4\cdot2–5\cdot5\cdot2)=a\cdot(72–50)=a\cdot22$. Но по условию $X_2 \leq 40$, т.е. $a\cdot22\leq40$. А так как $a$ – это натуральное число, то оно может принимать здесь только одно значение $a=1$.

В итоге мы получаем, что $M=4\cdot5\cdot4\cdot2\cdot1=160$. То есть до кризиса в городе проживало 160 волшебников.

б) Суммарный рыночный спрос – это сумма индивидуальных спросов. Сначала разберемся с групповыми функциями спроса волшебников:

1. Волшебники с высшим образованием. До кризиса их численность в городе $N$ составляла $0,45\cdot160=72$ человека. Значит их суммарный спрос будет равен $Q_x=72\cdot(10–2P)=720–144P$. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 5 рубликов.
2. Волшебники со средним образованием. До кризиса их численность в городе $N$ составляла $0,3\cdot160=48$ человек. Значит, их суммарный спрос будет равен $Q_y=48\cdot(30–3P)=1440–144P$. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 10 рубликов.
3. Волшебники с начальным образованием. До кризиса их численность в городе $N$ составляла $0,25\cdot160=40$ человек. Значит, их суммарный спрос будет равен $Q_z=40\cdot(60–4P)=2400–160P$. И они предъявляли спрос на волшебное зелье при цене ниже 15 рубликов.

Получаем, что при цене ниже 5 рубликов за литр, спрос на волшебное зелье предъявляли все волшебники, при цене от 5 до 10 рубликов – только волшебники со средним и начальным образованием, а при цене от 10 до 15 рубликов уже только волшебники с начальным образованием.
Функция суммарного рыночного спроса будет иметь вид:
$$Q=\begin{cases} 0, & \text{при } 15 \leq P; \\ 2400-160P, & \text{при } 10 \leq P \leq 15; \\ 3840-304P, & \text{при } 5 \leq P \leq 10; \\ 4560-448P, & \text{при } 0\leq P \leq 5\end{cases}$$