Упрощёнка

1) Налог на выручку. Фирма будет максимизировать $$\pi_\bigtriangledown(q)=(1-0,1)TR(q)-TC(q)=0,9pq-0,5q^{\,2}-10q.$$ Графиком функции прибыли является парабола с ветвями \linebreak вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины неотрицательна, и равен нулю в противном случае: $q=0,9p-10$ при $p\geqslant 100/9$ и $q=0$ при $p< 100/9$. Максимальная прибыль при этом составит

$$\pi_\bigtriangledown(p)=
\begin{cases}
0,&\text{ если } p< 100/9;\\
\dfrac{(0,9p-10)^2}{2},&\text{ если } p \geqslant 100/9.\\
\end{cases}$$

2) Налог на прибыль. Фирма будет максимизировать
$$\pi_\bigtriangleup(q)=(1-0,36)\left(TR(q)-TC(q)\right)=0,64(pq-0,5q^{\,2}-10q).$$ Графиком функции прибыли вновь является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный выпуск находится в ее вершине, если абсцисса вершины положительна, и равен нулю в противном случае: $q=p-10$ при $p\geqslant 10$ и $q=0$ при $p<10$. Максимальная прибыль при этом составит

$$\pi_\bigtriangleup(p)=
\begin{cases}
0,&\text{ если } p< 10;\\
0,64\dfrac{(p-10)^2}{2},&\text{ если } p \geqslant 10.\\
\end{cases}$$

3) Теперь найдем, при каких ценах выгоднее выбирать налог на выручку, а при каких — налог на прибыль. Выбирать налог на выручку выгоднее, если $\pi_\bigtriangledown(p)>\pi_\bigtriangleup(p)$. Разобьем значения цены на интервалы в соответствии с полученными выше результатами:

• $p\le 10$. В этом случае оптимальный выпуск при двух налогах совпадает и равен 0.
• $10 < p\le 100/9$. В этом случае $\pi_\bigtriangleup(p) > 0$, а $\pi_\bigtriangledown(p)=0$ — лучше выбирать налог на прибыль и производить $q=p-10$.
• $p > 100/9$. В этом случае налог на прибыль выгоднее, если $$0,64\frac{(p-10)^2}{2}>\frac{(0,9p-10)^2}{2}.$$

Это неравенство легко решить, умножая обе части на 2 и извлекая квадратный корень (выражения в скобках положительны). Получаем $p< 20$ — условие, при котором налог на прибыль (и производить $q=p-10$) выгоднее. При $p >20$ выгоднее выбирать налог на выручку (и производить $q=0,9p-10$), при $p=20$ варианты равнозначны.

В итоге, функция предложения фирмы будет описываться уравнением

$$q_s(p)=
\begin{cases}
0,&\text{если } p<10;\\
p-10,&\text{если } 10\leqslant p\leqslant 20;\\
0,9p-10,&\text{если } p\geqslant 20.
\end{cases}$$

(При $p=20$ оба выпуска ($p-10$ и $0,9p-10$) являются оптимальными.)

При росте цены фирма может снизить выпуск. Например, при росте цены с 19 до 21 фирме выгодно снизить выпуск с 9 до 8,9 единиц.