Робинзон и туземцы

Цена продажи каждой последующей лодки получается из предыдущей по правилу $P_{i+1}=P_i -d$. Цены проданных лодок, таким образом, составляют арифметическую прогрессию с первым членом $P_1$ и шагом $(-d)$. Выручка - сумма первых $n$ членов такой прогрессии. Посчитаем ее в каждом случае по формуле \[S_n=n\left(P_1+\frac{-d(n-1)}{2}\right).\]

Легко проверить, что туземцы во всех случаях готовы платить положительную сумму за каждую купленную у Робинзона лодку, так что продажа всех лодок оправдана.

Выходит, что для получения максимальной выручки, равной 315 самородков, Робинзону нужно нанять 1 туземца.

Покажем, что снижение выработки на 1 лодку (например, с 12 до 11) эквивалентно высвобождению 3 «лишних» месяцев. Действительно, если нужно произвести 11 лодок и с самого начала нанять двух работников, то последние 3 месяца можно не работать. Соответственно, появляется возможность произвести первые лодки с меньшим количеством помощников, растянув тем самым срок производства, но увеличив стоимость первой и всех последующих лодок.

Заметим, что если работать в одиночку (без найма работников) то на 1 лодку уходит на 3 месяца больше, чем если нанять двух работников (6 против 3). Если работать с одним работником, то на 1 месяц дольше (4 против 3). Таким образом, высвобождая 3 месяца отказом от производства лодки, мы можем позволить себе распределить их на 3 лодки работы с одним помощником или на 1 лодку, произведенную только силами Робинзона в одиночку.

11 лодок

Рассмотрим варианты найма работников для 11 лодок. Заметим, что варианты, где остаются недоиспользованные месяцы, неэффективны, так как если мы раньше времени наймем второго помощника (например, на производство второй лодки) то для каждой лодки, начиная с которой мы его наняли, ее цена и цена всех последующих лодок будет снижена на единицу.

Схема 1

Схема 2

рассматривая в дальнейшем отказ от одной лодки, мы будем учитывать только варианты, которые используют высвободившееся время либо для замены на 3 лодки производством Робинзона и 1 помощника либо для замены на 1 лодку производством Робинзона в одиночку. На примере производства 11 лодок это означает схему 3 или схему 4.

Схема 3

Схема 4

Для 11 лодок оптимальной схемой будет производство 3 лодок силами 1 помощника и 8 лодок силами 2 помощников, что принесет выручку в размере 316.

10 лодок

В соответствии с приведенными выше рассуждениями, отказ от 2 лодок эквивалентен 6 свободным месяцам, которые можно распределить:

• либо на производство 2 лодок в одиночку и 8 лодок с 2 помощниками,
• либо на производство 6 лодок с 1 помощником и 4 лодок с 2 помощниками,
• либо на производство 1 лодки в одиночку, 3 лодок с одним помощником и 6 лодок с 2 помощниками.

Схема 5

Схема 6

Схема 7

9 лодок

В соответствии с приведенными выше рассуждениями, отказ от 3 лодок эквивалентен 9 свободным месяцам, которые можно распределить:

• либо на производство 3 лодок в одиночку и 6 лодок с 2 помощниками,
• либо на производство 2 лодки в одиночку, 3 лодок с 1 помощником и 4 лодок с 2 помощниками,
• либо на производство 1 лодки в одиночку, 6 лодок с 1 помощником и 2 лодок с 2 помощниками,
• либо на производство 9 лодок с 1 помощником.

Схема 8

Схема 9

Схема 10

Схема 11

8 лодок

Логика отказа от 1 лодки в пользу распределения 3 месяцев для 8 и менее лодок не работает, так как мы теперь Робинзон может производить лодки, вообще не нанимая 2 рабочих.

Поскольку нас интересует продажа лодок за наибольшую цену, то начиная с 8 лодок целесообразно рассматривать производство лодок исходя из количества лодок, произведенных Робинзоном в одиночку. Заметим, что если произвести 1 лодку в одиночку и 7 лодок наняв 1 работника, то суммарно будет потрачено $6+7\cdot 4=34$ месяца, т.е. у нас будут простои, которые эффективно было бы потратить на производство более дорогой лодки.

Поэтому начинать анализ мы будем с производства 2 лодок в одиночку и 6 лодок с 1 помощником (итого $2\cdot 6+6\cdot 4=36$ месяцев).

Если построить 3 лодки силами одного Робинзона, то у нас останется 18 месяцев на 5 лодок. Построить 5 лодок силами только 1 помощника не получится (потребовалось бы 20 месяцев). Следовательно, если мы хотим, чтобы было построено 3 лодки в одиночку, то мы должны пожертвовать лодками с 1 помощником ради скорости и начиная с определенного момента нанять 2-го помощника.

Отказа только от 1 лодки будет недостаточно: 3 лодки в одиночку, 4 лодки с 1 помощником и 1 лодки с двумя требует 37 месяцев
Соответственно, нужный нам вариант: 3 лодки в одиночку, 3 лодки с 1 помощником и 2 лодки с двумя ($3\cdot 6+3\cdot 4+2\cdot 3=36$).

Если построить 4 лодки силами одного Робинзона, то у нас остается 12 месяцев на 4 лодки - как раз если нанять 2 работников. Больше, чем 4 лодки, построить в одиночку не удастся из-за временного ограничения.

Схема 12

Схема 13

Схема 14

7 лодок

Аналогично предыдущему пункту, начинаем рассмотрение с производства сразу 3 лодок в одиночку.

Для 3 лодок в одиночку у нас останется $36-6\cdot 3=18$ месяцев для производства 4 лодок. Если их производить наняв 1 помощника, то всё равно останутся лишние 2 месяца, которые было бы эффективней потратить на производство боле дорогой лодки в одиночку. Этот вариант отбрасываем.

Если произвести 4 лодки в одиночку, то остается 12 месяцев на производство 3 лодок, что как раз соответствует найму одного помощника.

Если произвести 5 лодок в одиночку, то остается 6 месяцев на производство 2 лодок, что соответствует найму 2 помощников на производство 6-й и 7-й лодки.

Произвести 6 лодок в одиночку невозможно по временным ограничениям.

Схема 15

6 лодок

Производство 6 лодок разобрано в пункте 1.

Таким образом, самым оптимальным является производство 10 лодок, при найме 1 работника на производство 6 лодок и 2 работников при найме на производство еще 4 лодок. Суммарная выручка составит 325.