Подарки в Андер-Арченске

\[\begin{array}{l} {(55-5)N\vee (25-5)\cdot 2N} \\ {50N>40N} \end{array}\]

Значит, фирме выгоднее установить цену 55 (и обсуживать только богатых).
Прибыль фирмы составит при этом $50N$.

б) Если фирма арендует прибор (воспользуется только первым предложением), то она сможет устанавливать разные цены для разных групп. Ясно, что тогда нужно будет установить для бедных цену 25, а для богатых — 55. При этом прибыль фирмы с учётом затрат на аренду прибора составит $(25-5)N+(55-5)N-19N=51N$, что больше, чем в пункте а).

Заметим, однако, что если у фирмы есть прибор, то склад ей уже не нужен. Действительно, продавая доставку с задержкой, фирма сможет взять с богатых максимум 25 рублей, а с бедных — 20 рублей, что меньше цен за экспресс-доставку, которые она может назначить для этих групп, если у нее есть прибор. Таким образом, если у фирмы есть прибор, то дополнительных выгод от склада никаких, зато появляются дополнительные издержки. Поэтому фирма точно не воспользуется двумя предложениями одновременно.

Какие же выгоды получит фирма, если воспользуется только складом (вторым предложением)?
Заметим, что, если фирма им воспользуется, ей будет невыгодно предлагать только доставку с задержкой. Действительно, она всегда может получить более высокую прибыль, предложив вместо этого экспресс-доставку по той же цене: все, кто покупал за эту цену доставку с задержкой, согласятся купить по этой цене экспресс-доставку (ведь для всех экспресс-доставка приносит ещё большее удовольствие, чем доставка с задержкой), но фирме теперь не придётся платить за хранение подарков.

Если же продавать только экспресс-доставку, то склад фирме вообще не нужен. Значит, единственный шанс получить выгоду от склада — оказывать обе услуги.

Пусть $P_{0} $ — цена экспресс-доставки, $P_{1} $ — цена доставки с задержкой.

Богатые предпочтут экспресс, если $P_{0} -P_{1} \le 30$.

Бедные предпочтут экспресс, если $P_{0} -P_{1} \le 5$.

Заметим, что если бедные предпочитают экспресс, то и богатые тоже. Поэтому, коли мы выяснили, что должны оказывать обе услуги, то цены должны быть такими, чтобы бедные предпочитали задержку, а богатые — экспресс: $5

Таким образом, фирма выбирает значения $P_0$ и $P_1$ из множества, описываемого системой неравенств

\[\left\{\begin{array}{l} {5

так, чтобы ее прибыль $\pi =(P_{0} -5)N+(P_{1} -5-5)N-3N$ была максимальна.

Покажем, что хотя бы одно из неравенств $P_{0} \le 55$, $P_{1} \le 20$ выполнено как равенство. Предположим, что это не так, и оба они выполнены как строгие неравенства. Увеличим обе цены на одинаковую маленькую величину. Все неравенства нашей системы при этом продолжат выполняться (то есть новые цены принадлежат допустимому множеству), однако прибыль вырастет — значит, изначальная ситуация не была оптимумом.

Итак, в оптимуме хотя бы одно из неравенств $P_{0} \le 55$, $P_{1} \le 20$выполнено как равенство. Однако из условий $P_{0} -P_{1} \le 30$и $P_{1} \le 20$ получаем, что $P_{0} \le 30+P_{1} \le 30+20=50$.

Значит, $P_{0} $ не может равняться 55. Таким образом, как равенство может быть выполнено только неравенство $P_{1} \le 20$. Итак, $P_{1} =20$.

Значит, $5

В итоге получаем, что для фирмы является оптимальным установить цены $P_{0} =50$ и $P_{1} =20$. Прибыль при этом составит $52N$, что больше, чем в случае аренды прибора, и тем более больше, чем в пункте а). Значит, фирма воспользуется только вторым предложением.