Алюминиевые огурцы

а) Если предприниматель назначит цену $P$ рублей за огурец, он продаст (и произведет) $100(9-P)$ огурцов. Выручка предпринимателя составит $100(9-P)\cdot P$ рублей, а сумма понесенных им издержек будет равна $1\cdot 100(9-P)$ рублей. Прибыль же, в свою очередь, составит $\pi(P)=100(9-P)P-100(9-P)=100(9-P)(P-1)$ рублей.

Предприниматель назначит такую цену, чтобы прибыль была максимальна. Заметим, что график прибыли как функции от цены является параболой с ветвями вниз и корнями $P=1$ и $P=9$. Как известно, абсцисса вершина параболы находится ровно посередине между ее корнями (если они есть). Значит, оптимальная для фирмы цена равна $\frac{9+1}{2}=5$ рублей за огурец.

б) Если теперь предприниматель назначит цену $P$, его прибыль (за вычетом налога) составит $100(9-P)(P-1)-1\cdot 100(9-P)=100(9-P)(P-2)$ рублей. Аналогично предыдущему пункту, получаем, что теперь оптимальной для предпринимателя будет цена $\frac{9+2}{2}=5{,}5$ рублей за огурец.
Таким образом, для фирмы является оптимальным переложить на потребителя не весь рубль налога, а лишь 50 копеек. Если бы фирма прибавила к цене целый рубль, это снизило бы объём спроса слишком сильно, и прибыль фирмы не была бы максимальной.

Заметим, что введение налога привело и к изменению выпуска фирмы – он сократился с 400 до 350 огурцов. Это произошло из-за того, что, введение налога по сути увеличило издержки фирмы на выпуск одного огурца с одного рубля до двух.

в) До введения налога прибыль фирмы равнялась $100(9-5)(5-1)=1600$ рублей. После введения налога прибыль уменьшилась до $100(9-5{,}5)(5{,}5-2)=100\cdot3{,}5^2=1225$ рублей. Таким образом, из-за введения налога прибыль фирмы уменьшилась на $1600-1225=375$ рублей.
С другой стороны, после введения налога фирма продала $100(9-5{,}5)=350$ огурцов, и значит, уплатила в бюджет 350 рублей.
Таким образом, в результате введения налога прибыль фирмы уменьшилась на 375 рублей, а в бюджет поступило лишь 350 рублей.

Куда «делись» 25 рублей?

Причиной этого расхождения является как раз то, что после введения налога фирма изменила выпуск. Поэтому прибыль предпринимателя частично уменьшилась еще до того, как произошла фактическая уплата суммы налога в бюджет. Если раньше фирма производила 40 огурцов и получала $5\cdot400-1\cdot400$ рублей прибыли, то теперь она произвела 35 огурцов и ее прибыль (еще до уплаты налога) составила $5,5\cdot350-1\cdot350=1575$ рублей (что как раз на 25 рублей меньше, чем 1600). Далее фирма выплатила 350 рублей налога, и в итоге ее потери составили те самые 375 рублей.

Таким образом, 25 рублей «не достались никому», эти потери возникли из-за того, что стимулы фирмы были искажены, и она изменила объем выпускаемой продукции после введения налога.

г) Если налог будет отменен, то фирма вновь сможет получать 1600 рублей прибыли, и ее прибыль вырастет на 375 рублей. Поэтому сделка будет выгодна фирме при $X<375$. Чиновник же в случае отмены налога недополучит 350 рублей, ему сделка будет выгодна при $X>350$. Таким образом, сделка будет выгодна обоим при $X\in(350;375)$. Заметим, что существование значений $X$, выгодных для обоих, является как раз следствием того, что $350<375$, — следствием возникших в результате введения налога потерь в 25 рублей.