"Нащупывание" оптимальной ставки налога

Рынок виджетов совершенно-конкурентен. Государство хотело бы ввести на данном рынке потоварный налог, причем так, чтобы сумма налоговых сборов была максимальна. Проблема заключается в том, что оно не знает точно, какой вид имеют постоянно меняющиеся функции спроса и предложения виджетов. Оно обладает лишь информацией о том, что эти функции линейны; кроме того, в каждый момент времени оно может наблюдать равновесный объем и равновесную цену виджетов.
Изначально наблюдаемые цена и количество равны 100. Исходя из этого и прошлых наблюдений, статистический отдел оценил функции спроса и предложения как $Q_d=200-P$ и $Q_s=P$ соответственно.
Эти уравнения были затем использованы для определения ставки потоварного налога $t^{\star}$ , при которой сумма налоговых поступлений (для этих предполагаемых функций) максимальна.
Когда налог по ставке $t^{\star}$ был введен, оказалось, что цена, уплачиваемая потребителем, выросла до 125, а равновесное количество сократилось до 40.

(а) Найдите $t^{\star}$ и полученную государством сумму налоговых поступлений;
(б) Определите, какими уравнениями в действительности описываются спрос и предложение на рынке виджетов (в ответе запишите зависимости количества от цены, а не наоборот);
(в) Является ли полученная государством сумма налоговых поступлений действительно максимальной? Если нет, то найдите максимально возможную сумму налоговых поступлений.