Равновесие на кольце

1. Выбор водителей и граница безразличия.

Рассмотрим дугу между станциями $A$ и $B$, имеющую длину $\tfrac12$.
Пусть $x\in[0,\tfrac12]$ — расстояние от станции $A$ вдоль кратчайшей дуги к станции $B$.

Тогда
\[
d(x,A)=x, \qquad d(x,B)=\tfrac12-x.
\]

Полезности водителя, находящегося в точке $x$, равны:
\[
U_A(x)=V-p_A-tx,
\qquad
U_B(x)=V-p_B-t\bigl(\tfrac12-x\bigr).
\]

Граница между зонами обслуживания определяется условием безразличия:
\[
V-p_A-tx = V-p_B-t\bigl(\tfrac12-x\bigr).
\]

Отсюда получаем
\[
x^*=\frac{p_B-p_A}{2t}+\frac14.
\]

2. Спрос на услуги станций.

По предположению задачи, в равновесии Нэша водители между станциями не используют внешнюю опцию,
поэтому каждый из них выбирает одну из станций.

Станция $A$ обслуживает водителей, находящихся на расстоянии не более $x^*$ от неё по обе стороны,
следовательно,
\[
D_A=2x^*=\frac12+\frac{p_B-p_A}{t}.
\]

Аналогично,
\[
D_B=\frac12+\frac{p_A-p_B}{t}.
\]

3. Прибыль фирм.

Прибыль станции $A$ равна
\[
\pi_A=(p_A-c_A)D_A
=(p_A-c_A)\left(\frac12+\frac{p_B-p_A}{t}\right).
\]

Аналогично для станции $B$:
\[
\pi_B=(p_B-c_B)\left(\frac12+\frac{p_A-p_B}{t}\right).
\]

4. Нахождение равновесных цен.

Максимизируем прибыль станции $A$ по цене $p_A$:
\[
\pi'_A
=\frac12+\frac{p_B-2p_A+c_A}{t}.
\]

Условие максимума:
\[
\frac12+\frac{p_B-2p_A+c_A}{t}=0,
\]
откуда
\[
p_A=\frac{p_B+c_A}{2}+\frac{t}{4}.
\]

Проверим условия второго порядка:
\[
\pi''_A
=-\frac{2}{t}<0.
\]

Аналогично для станции $B$:
\[
p_B=\frac{p_A+c_B}{2}+\frac{t}{4}.
\]

5. Равновесие Нэша.

Решая систему двух уравнений, получаем равновесные цены:

\[
\begin{cases}
p_A = \frac{p_B + c_A}{2} + \frac{t}{4},\\[4pt]
p_B = \frac{p_A + c_B}{2} + \frac{t}{4}.
\end{cases}
\]

\[
p_A=\frac{4c_A-c_B+3t}{3},
\qquad
p_B=\frac{4c_B-c_A+3t}{3}.
\]

Подставляем цены в прибыли и получаем искомые значения:

\[
\boxed{\pi_A = \left( \frac{c_B - c_A}{3} + \frac{t}{2} \right) \left( \frac12 + \frac{c_B - c_A}{3t} \right), \quad \pi_B = \left( \frac{t}{2} - \frac{c_B - c_A}{3} \right) \left( \frac12 - \frac{c_B - c_A}{3t} \right)}
\]

6. Сравнение цен и долей рынка.

Подставляя равновесные цены в функции спроса, находим:
\[
D_A=\frac12+\frac{c_B-c_A}{3t},
\qquad
D_B=\frac12-\frac{c_B-c_A}{3t}.
\]

Так как предельные издержки у фирмы A меньше, чем у фирмы B, объем продаж фирмы А больше, чем у фирмы B (см. расчеты).

Кроме того, $p_A-p_B=\frac{c_A-c_B}{3}<0,$ то есть станция с меньшими издержками назначает более низкую цену.