Отдача и эффект

Несколько определений, от которых мы будем отталкиваться:

1. Возрастающая отдача от масштаба означает:

\[
F(tL, tK) > t \cdot F(L, K) \quad \text{для любого} \quad t > 1.
\]

2. Долгосрочная функция издержек \( C(Q) \) определяется как минимальные затраты на производство выпуска \( Q \) при данных ценах факторов:

\[
C(Q) = \min_{L, K} \left\{ wL + rK \mid F(L, K) \geq Q \right\}.
\]

3. Средние долгосрочные издержки:
\[
AC(Q) = \frac{C(Q)}{Q}.
\]
Эффект масштаба существует, если \( AC(Q) \) убывает с ростом \( Q \).

Начнем рассуждения:

1. Пусть для некоторого выпуска \( Q_0 > 0 \) оптимальная комбинация факторов есть \( (L_0, K_0) \), так что:

\[
F(L_0, K_0) = Q_0, \quad C(Q_0) = wL_0 + rK_0.
\]

2. Оценим издержки для большего выпуска \( Q_1=t Q_0 \), $t>1$.

Возьмём комбинацию факторов \( (t L_0, t K_0) \), тогда в силу возрастающей отдачи от масштаба:

\[
F(t L_0, t K_0) > t \cdot F(L_0, K_0) = t Q_0 = Q_1.
\]

Это означает, что комбинация \( (t L_0, t K_0) \) позволяет произвести больше, чем \( Q_1 \). В этом случае стоимость комбинации \( (t L_0, t K_0) \) равна:

\[
w \cdot (t L_0) + r \cdot (t K_0) = t \cdot (w L_0 + r K_0) = t \cdot C(Q_0).
\]

Фактические (минимальные) издержки производства \( Q_1 \) не могут превышать стоимость любого способа произвести не меньше \( Q_1 \). Но чтобы произвести ровно \( Q_1 \), можно взять чуть меньше факторов, чем \( (t L_0, t K_0) \) (так как они дают избыток выпуска), следовательно:

\[
C(Q_1) = C(t Q_0) < t \cdot C(Q_0).
\]

Разделим неравенство \( C(t Q_0) < t \cdot C(Q_0) \) на \( t Q_0 \) и получим неравенство на средние издержки:

\[
\frac{C(t Q_0)}{t Q_0} < \frac{C(Q_0)}{Q_0}.
\]

Это означает:

\[
AC(t Q_0) < AC(Q_0) \quad \text{для любого} \quad t > 1.
\]

Следовательно, средние долгосрочные издержки строго убывают при увеличении выпуска. Убывание \( AC(Q) \) с ростом \( Q \) и есть эффект масштаба. Таким образом, при наличии возрастающей отдачи от масштаба и совершенной конкуренции на рынках факторов производства в долгосрочном периоде у фирмы обязательно существует эффект масштаба.