Задача 3 (СПбГУ 2016)

Такая возможность у мышки действительно есть, учитывая, что при обеих схемах раздела меняются доли только внучки и мышки; правда, для этого мышке придётся поступить не совсем честно. Рассмотрим возможности участников артели без внучки, при этом с математической точки зрения уместно считать, что их трое, а не пятеро, поскольку пары «дед-Жучка» и «бабка-кошка» рассматриваем как единых участников артели.
Итак, коллектив из мышки, а также пар «дед-Жучка» и «бабка-кошка» способен собирать любые овощи, кроме репки. При этом мы должны иметь в виду, что площадь общего участка уменьшается за счёт персонального участка внучки. Таким образом, из суммы в $180 000$ руб., которую заработали бы все герои вместе с внучкой, нужно вычесть стоимость репки, а затем уменьшить её на $1/6$.
$(180 000 – 15 000) \cdot 5/6 = 137 500$
При схеме раздела, предложенной внучкой, мышка должна получить $20 000$, а выигрыши пар складываются из выигрыша одного человека и одного животного:
$40 000 + 20 000 = 60 000$
Таким образом, во-первых, ни одна из пар не согласится на меньший выигрыш, во-вторых, никто не допустит, что мышка согласится получить меньше предлагаемого ей дедом, и в-третьих, не поверит, что другая пара согласится получить меньше, чем могла бы получить, вообще не сотрудничая с прочими членами артели. Последнее число определяется как доход от картофеля и лука (больше ничего одной паре не собрать) с участка, на который может рассчитывать одна пара (то есть $1/3$ огорода), то есть
$\frac{90 000 + 45 000}{3} = 45 000$
С другой стороны, сумма данных выигрышей составляет
$30 000 + 60 000 +45 000 = 135 000$
При этом коллектив, работая впятером, способен получить на $2 500$ больше этой суммы. Соответственно, при переговорах с парой «дед-Жучка» (конкретное распределение денег внутри пары несущественно) мышке достаточно предложить схему раздела:
\begin{array}{c c c}
Мышка & «дед-Жучка» & «бабка-кошка» \\
30 000 & (60 000 + 2 500) = 62500 & 45 000 \\
\end{array}
А при переговорах с парой «бабка-кошка», соответственно
\begin{array}{c c c}
Мышка & «дед-Жучка» & «бабка-кошка» \\
30 000 & 45 000 & 62 500 \\
\end{array}