Юный экономист недавно совершил открытие! Он опроверг тот хорошо известный факт, что максимизирующий прибыль монополист, функция общих издержек которого не убывает, всегда выбирает объем выпуска, находящийся на эластичном участке спроса. Вот какой пример он привел:

p_ac_inelast.png

Как видно из рисунка, множество объемов выпуска, при которых прибыль фирмы положительна (то есть $P > AC$), в данном случае целиком находится на неэластичном участке спроса. Но если у фирмы есть возможность получить положительную прибыль, то она будет эту возможность использовать. Поэтому в точке оптимального выпуска должно быть выполнено $P > AC$, но это означает, что оптимум лежит на неэластичном участке спроса!

Прав ли Юный экономист? Если нет, то укажите, в чем именно заключается ошибка, и обоснуйте свой ответ.

Комментарии

Скорее обосновывали, что экономист этот юный не прав.
через что?)
Лично я пример не приводила. С точки зрения экономической теории обосновала
что на этом участке не будет максимальной прибыли? или какой то другой способ?
То, что там где p>ac, mc и mr будут отрицательные. Следовательно такого объема фирма не будет пройзводить. Что-то типо того
не MR и MC, а только MR.
MC всегда больше нуля или равны, так как TC не убывают, значит при оптимальном выпуске у монополиста MR < MC, а при таком условии монополист произведет Q=0.
Да да. Пардон. Я еще написала, что если tc не убывает то это скорее всего линейная возрастающая функция. А значит mc может бы ь константой
или можно и по другому. если оптимум на участке где AC < p, то там, где прибыль максимальна будет выполнятся условие MR = MC, а так как там MR отрицательны, то и MC должны быть отрицательны, а по условию (исходя из TC не убывают) MC больше или равны нулю
Вопрос был: в чем именно заключается ошибка? Что Юный экономист сделал неправильно, что у него (на первый взгляд, вполне логично) получился такой результат?
неправильное построение AC?
притаких AC он действовать на рынке не будет?
Данил, а кто автор этой интересной задачки?
Алексей Суздальцев.
Ух ты
Я доказывал,что экономист не прав. Так как задано, что TC не убывает, то MC>=0 на все протяжении. Если монополист выберет выпуск на неэластичном участке,то для данного участка MR<0, а MC>=0. То есть с каждой следующей единицей прибыль падает.И равенство MR и MC выполниться не может.
+1
У меня тоже примерно так. Единственное, что меня смущает, это что по формуле прибыли $\pi=(P-AC)Q$ только на этом участке прибыль положительна, а на остальных отрицательна.
или я заблуждаюсь?
ну об этом нам говорит график AC.так что все верно вроде.
Тут фишка, наверное, в том, что сам график неверно изображен. Даже не знаю, как логично объяснить сложившуюся ситуацию :)
Рассматривая 2 точки пересечия спроса и АС,где выручка равна издержкам, получаем, что выручка уменьшилась, а издержки должны всё-таки увеличится...противоречие
Да-да, в этом противоречие.
При переходе от меньшего "равновесного" объема к большему.
График верный
Тут получается что- то типа параболы, т.к снова возрастает АС. Тогда ТС это кубическая парабола, которая, вполне возможно , только возрастает .
Экономист же дал неверное определение условию оптимизации
Тоже вариант, достаточно логичный.
АС имеет вид параболы,если произвольно задать вид параболы , чтоб не было корней, найти от нее ТС, полчуается что ТС не строго возрастающая функция, что противоречит условию
Почти. Функция хоть и воЗрастает, но можно же подобрать функцию, чтобы у нее какой-то участок АС так себя вел. Нам известно что ТС возрастает. Функция тангенса тоже возрастающая, хоть и не существует в некоторых точках. Если мы рассмотрим tg x плюс x^3 и еще добавим( точно пока не построил) что-то то ТС возрастает, хоть и не существует где- то а участок АС ведет себя так как изображено. разве такое невозможно?
И еще: нам же надо доказать что на эластичном участке оптимум. При этом оптимум при MR=MC
MR только на эластичном участке спроса. Тогда и оптимум только на эластичном участке. Нам разве не это надо доказать. Если только докажем что такого графика нет, то не покажем, что оптимум на этом участке
Тангенс не является возрастающей функцией на всей области определения: ведь можно подобрать такие $x_1$ и $x_2>x_1$, что $tg(x_2)
такого АС быть не может. если мы нарисуем график TR и сопоставим его с любым возрастающим графиком ТС, то максимум прибыли не будет на участке спроса, где |Е|<1. а при таком АС максимум как раз на этом участке
Монополист должен произвести количество между спросом и $AC$, но продавать ему не обязательно всё, тоесть он будет продавать количество соответствующее эластичности, равной единице т.к там TR максимально и больше, чем на любой точке правее, тем самым его прибыль увеличится и на неэластичном участке спроса он производить не будет.
Не знаю, конечно, если товар неделим то мое решение вряд ли катит. Но для остальных 99.9% оно работает. И опять же, точку с единичной эластичностью, ведь нельзя отнести ни туда, ни сюда... в общем не знаю я))
у меня тоже такое, с посылками о отсутствии издержек на утилизации и бесконечной делимости
Вот именно что он будет производить "на неэластичном участке" спроса, а продавать - в точке единичной эластичности спроса. Точнее даже, когда объём производства и продаж не совпадают, то мало смысла во фразе "производить на таком-то участке спроса".
Также объяснил. Даже трои MC начертил с разными наклонами и везде Q* относился к эластичному участку спроса
Тут нет никакого подвоха, он действительно будет иметь положительную прибыль на неэластичном участке. Представьте, что он изначально купил очень крупный завод или нанял очень много рабочих. Вопрос в том, останется ли он на нём при условии максимизации прибыли. Так как MR<0, то для него будет разумным сократить свои ресурсы, чтобы выйти на эластичный участок спроса, тем самым повысив свою прибыль.
Монополист будет выполнять условие, что MR=MC. Если нет точек пересечения, он покинет отрасль, если есть, но на убывающем участке МС, то тоже покинет. Даже если прибыль положительная, а MR не равны MC он не будет производить. Его Q=0 в краткосрочном периоде.
Разве не так?
MR=MC не всегда работает.
Да, не всегда. Должно выполняться условие, что MR'-MC'<0
Это оптимума. Если это никогда не выполняется, то монополист покиадет отрасль. И, мне кажется, неважно какой знак у прибыли
Эт зачем же ему уходить, если у него прибыль положительна?
Хорошо, но ведь если он не уходит, он производит на неэластичном участке? Тогда ему нет смысла производить на эластичном участке,т.к. его прибыль там отрицательна(P
Если он стремится получить больше прибыли, он уменьшит свои ресурсы и окажется на участке, где MR>0.
На участке, где MR>0 его прибыль отрицательная, т.к. PQ
Я же говорю, что если он уменьшит ресурсы, то график AC переместится и на эластичном участке будет положительная прибыль.
Какие ресурсы? Нам же ресурсы не известны. AC зависит от Q.
Нам в общем ничего неизвестно. А какие могут быть ещё предложения? Ясно, что ошибки в графиках никакой нет - AC и D не зависят друг от друга. Из этого точно следует, что прибыль его положительна на неэластичном участке. Почему такого не может быть? Если бы спрос на iphone был бы такой же, как на планшетник Чубайса, то мне кажется кривая AC если бы и пересекала кривую кривую D(маловероятно), то только в самом низу.
ТС возрастают, а выручка падает. Поэтому мы не можем 2 раза иметь нулевую прибыль. Т.е. такого графика вроде нет. Но я до этого написал функцию, при которой выполняются оба эти условия вроде должны выполняться. Поэтому я не запутался)
Выручка сначала растёт(MR>0), а потом падает (MR<0), поэтому он может иметь нулевую прибыль два раза.
Нет. По условие ТС возрастает. Т.е. чем больше Q, тем больше ТС. Участок неэластичный и пересекается 2 раза. Но выручка падает, а ТС растет, следовательно невозможно. Оба пересечения, когда MR падает
О чем говорю я:если в функции издержек есть тангенс ,то функция ТС возрастает, а АС имеет такой вид и это возможно.
Да, ты прав. График неверный, я думаю это и есть решение. Про тангенс ничего не могу сказать.
Ну, можно рассуждать еще так, на мой взгляд...
Максимизация прибыли - MR=MC
MR пересекается с осью Q в точке, где |E|=1. Т.е. пересечение с MC будет в любом случае в районе эластичного участка спроса, т.е. оптимальный для максимизации прибыли выпуск никак не будет на не эластичном участке.
Рассуждаю с высоты колокольни 10 класса, не факт, что верно. Но вполне логично, вроде бы...
Друзья, вы все здесь очень много написали. Но решения на подобии моего я так и не увидел. Скорее всего оно не правильно, но прошу как раз ткнуть пальцем где не правильно:

В задаче нас просят подтвердить или опровергнуть высказывание, ну и доказать. Поэтому опровергнуто, в качестве доказательства необходимо привести пример в котором точка оптимум будет находится вне данного диапазона цен.

Для начала построим график $МС$. С помощью индекса Лернера мы можем доказать, что когда $Е=-1$, то из формулы $\frac{Р-МС}{Р}=\frac{1}{-Е}$, становится понятно, что $\frac{Р-МС}{Р}=1$ $=>$ $MC=0$. Соответственно МС - парабола с ветвями вверх.

Так же мы знаем, что максимизация прибыли достигается в точке, где $МС=MR$. А мы знаем, что у фирмы обладающей монопольной властью $P$ всегда больше $MR$. Поэтому она имеет более крутой наклон. Соответственно точка оптимума будет зависть от этой самой $MR$. Причем если нам не даны $MR$, то можно представить какой-нибудь абстрактный случай, где оптимум будет вне диапозона.

$\frac {P-MC}{P} = \frac{1}{|E|}$ выполняется только, когда $MR=MC$. Для общего случая это работает только при $\frac {P-MR}{P} = \frac{1}{|E|}$. Поэтому у Вас в решении присутствует условие, что $MR=MC$, при $|E| = 1$, которое не доказано и скорее всего неверно.
Когда писал свой комментарий, комментария Миши ещё не было.

Кстати, почему $\MR$ имеет такой вид?

Эх как накинулись то на меня :D Удалил я свой рисунок от греха подальше) Ну нам не дано MR, так почему оно не может быть таким?)
Хотя бы потому, что кривая спроса имеет линейный вид, и нам задана точка единичной эластичности.
Хм, ну файн, тогда может вот такой вариант представить: http://i31.fastpic.ru/big/2012/0225/25/f54e62f14de0a90fa290a3d5108b7c25.png
Сможешь доказать, что такое возможно ( $\MC=0=\MR$ ), добавлю: в самой-самой общей постановке?

Я, например, вижу, по крайне мере одну ошибку в построении графика $\MC$

Edited: Точка пересечения $MC$ и $AC$ имеет определенную закономерность.
Миш, ты не оставляешь человеку возможности подумать:)
Да, наверно я действительно поторопился)
Так, я вернулся)) Владислав, ну чисто по логике, сам как думаешь, разве фирма будет бесплатно раздавать товар? Следовательно надо брать другую точку пересечения, отличную от нулевой.

Миша, ну допустим такая парабола http://i32.fastpic.ru/big/2012/0225/ed/0452e970eb24120f51ae9aa2b30a28ed.png

Бесплатно раздавать продукцию это точка $(Q_{max};0)$, но никак не точка, которую ты отмечаешь на графике ($\MR=\MC=0$), если я, конечно, понял о чем ты!
Ой да, тормознул, ну даже в этой самой точке цена же не входит в диапозон $P>AC$.
То есть ты соглашаешься с юным экономистом??

Кстати, график как в этом комментарии тоже не может быть, и почему ты вообще решил, что $\MC(Q)$ - парабола??

Нет я не соглашаюсь с экономистом, потому что доказал, что точка оптимума находится вне диапозона. Да какой бы вид она не имела, получается, она все равно будет пересекать данную точку, где и будет оптимум.
По-моему это близкая к бесполезной идея построить график $MC$ из имеющихся данных. Надо ещё учесть точки, когда $\pi=0$. А это уже наглаз сделать очень сложно.
А зачем график? Разве вот этого не достаточно?
"MR пересекается с осью Q в точке, где |E|=1. Т.е. пересечение с MC будет в любом случае в районе эластичного участка спроса, т.е. оптимальный для максимизации прибыли выпуск никак не будет на не эластичном участке."
Я, конечно, тоже могу быть не прав, но в чем тогда? Мне просто интересно, зачем такие сложные рассуждения, если можно проще...
Вот и я говорю, что от формы МС ничего не зависит. Еще б я так в самой работе написал... эх
Как уже верно подмечали выше в комментариях, в этой задаче не спрашивается доказательство самого "хорошо известного факта", что оптимум будет на эластичном участке (что многие из вас сейчас пытаются доказать).

Спрашивается весьма конкретная вещь - где ошибка в рассуждениях? Ведь действительно, при данном рисунке получается, что на эластичном участке прибыль отрицательна, а на неэластичном - положительна. Положительная прибыль для фирмы явно лучше, чем отрицательная, и поэтому получается, что оптимум лежит на неэластичном участке. Что не так?

Алексей, ведь по сути таким образом мы уже нашли по крайней мере одну точку, в которой прибыль больше, чем при $P=P(Q_a)$ ($Q_a$ взял из комментария Миши), а таких точек больше одной (это можно объяснить)
С одной стороны, там прибыль больше, да. Но с другой стороны, там прибыль меньше, так как в $Q_a$ она положительна, а в $Q_b$ отрицательна. Это противоречие указывает на то, что Юный Экономист, несомненно, допустил ошибку. Но в чем конкретно эта ошибка? (Я все хочу услышать ответ на вопрос задачи :))
И в результате, как можно оценить такого рода решения?
Да, это и имел в виду. Забыл про отрицательный предельный продукт.
Ну да. На примере этой задачи это хорошо понятно.
http://iloveeconomics.ru/zadachi/z36
Не совсем: там всё-таки производственная функция обычная, нужно полное использование ресурсов для максимального производства товаров. Там выручка на КПВ не максимальна, но это не та неэффективность, о котором мы тут говорим.
В общем, рассмотрим точку единичной эластичности
Очевидно, что там TC больше TR, а поскольку TR в этой точке максимальна, то TC в точке единичной эластичности больше любой выручки при даном спросе, обозначим TC в этой точке как TC1
Обозначим точки пересечения AC и спроса за Q1 и Q2, тогда для любого Q0, принадлежащего промежутку [Q1;Q2], TC(Q0)<=TR(Q0)
Следовательно для любого Q0 из данного промежутка выполняется следующее неравенство:
TC(Q0)
А еще это очень грустно, потому что надо было чуть-чуть додумать, максимум за эту задачу уже не светит :(
Я кажется поняла, в чем соль)
Если издержки не убывают, то издержки при любом выпуске на эластичном участке должны быть меньше издержек на неэластичном, значит произведя сразу столько, сколько продаем исходя из наших рассуждений мы уменьшаем издержки и еще увеличиваем прибыль.
Это надо обдумать :)
Попробуй определить эту закономерность и доказать её, и проведи аналогию с $\AVC$.
Условие $\frac{P-MC}{P}=\frac{1}{|E_P^d|}$ выполняется только, когда $\pi'=0$
К сожалению без графика, но решение следующее: "мысленно" построим график TR в точках где Q такое, что P(Q)=AC (их 2 штуки) в них TR=TC => т.к. TR справа от точки, где E=1 убывает, то и TC тоже должно убывать между этими 2умя точками => факт, что максимизирующий прибыль монополист, функция общих издержек которого не убывает, всегда выбирает объем выпуска, находящийся на эластичном участке спроса НЕ ОПРОВЕРГНУТ, т.к. функция общих издержек убывает.

P.S. если кто-нибудь подскажет в каком редакторе лучше рисовать график, то я и график приложу.

Да, это и есть авторское решение) График я скоро сам приложу, а строю я их в Advanced Grapher.
Я после олимпиады сразу решил, а на самой олимпиаде лажу написал(( очень обидно(
Очень красивая задача с очень красивым решением)
P.S. учусь пользоваться Advanced Grapher))
Как я понимаю, решение через MR и MC аналогично, просто начинается с другого конца... Доказание факта, что MC отрицательно означает убывание TC, что по условию неверно, значит AC Не может иметь такое расположение на рисунке... НЕ понимаю, чем это решение не удовлетворяет?
Это полноценное решение, но нужно все хорошо прописать.
все правильные решения удовлетворяют)